Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

§10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

  Для того, чтобы найти общее решение однородного уравнения с постояными коэффициентами

необходимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Причём, а) если корни простые (n различных корней), то линейная крмбинация (с произвольными коэффициентами) функции вида является общим решением; б) если корень li имеет кратность ki, то общее решение является линейной комбинацией функций , , , …, , i = 1¸m.

  Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+Dx нам удобно будет представлять в виде у(х+Dx)= у(х)+ Dу= у(х)+ у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0, следующим из определения для приращения функции: Dу = у(х+Dx)- у(x).

  Для линейных неоднородных уравнений с правой частью специального вида , где Pm(x) – многочлен степени m, частное решение неоднородного уравнения учн ищется в виде учн = xsQmegx, где S = 0, если g - не корень уравнения L(l) = 0 (отсутствие резонанса) и S = k, где k – кратность корня g уравнения L(l) = 0 (явление резонанса). Многочлен Qm имеет ту же степень, что и многочлен Pm. Коэффициенты многочлена Qm находятся при подстановке учн в уравнение; при этом полезна формула

 (*)

Если правая часть неспециального вида, то решение учн находится методом вариации свободных постоянных. В этом случае учн ищется в виде учн = С1(х)у1+…+Сn(х)уn, где {yi(x)} – фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения

Задача 16.

 Найти общее решение уравнения 2y¢¢ - 5y¢ + 2y = 0.

 Решение. Характеристическое уравнение 2l2 - 5l + 2 = 0 имеет корни l1 = 2, l1 = ½.

Общее решение имеет вид

 

Задача 17.

 Найти общее решение уравнения y¢¢ + 4y = 0.

  Решение. Решим характеристическое уравнение l2 + 4 = 0, l1,2 = ± 2i. Общее комплексное решение имеет вид  Чтобы уоо было вещественно, нужно, чтобы коэффициенты были сопряжёнными: С1 = С2*. Тогда yoo(x) = aCos2x + bSin2x.

 

Задача 18.

 Случай отсутствия резонанса.

  Решение. Найдём общее решение однородного уравнения уоо(х). Характеристическое уравнение имеет корни l1 = i, l2 = -i. Следовательно,

Вещественная часть имеет вид yoo(x) = aCosx + bSinx. Найдём частное решение неоднородного уравнения учн(х). Така как первая часть имеет специальный вид, то будем искать учн в виде

учн(х) = xsQ1(x)ex,

где S = 0 (так как g = 1 и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения), многочлен Q1 равен Q1 = aх + b, где a, bÎ R. Следовательно, учн = (aх + bх. Для нахождения коэффициентов a и b подставим учн в уравнение. При этом уравнение легче записать в операторной форме:

При подстановке была использована формула (*). Следовательно,

Окончательно получим учн = (2х – 2)ех.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

Уон(х) = уоо + учн = С1еix + С2е-ix + 2(x-1)ex.

Вещественная часть уон имеет вид

Уон(х) = aCosx + bSinx + 2(x – 1)ex.

 

Задача 19.

 Явление резонанса.

y¢¢¢ + y¢ = Sinx.

 Решение. Характеристическое уравнение l3 + l = 0 имеет корни l1 = 0, l2 = i, l3 = -i. Общее решение уоо(х) имеет вид

yoo(x) = C1 + C2eix + C3e-ix.

Найдём учн(х). Для этого представим правую часть уравнения в специальном виде  Так как специальная правая часть есть сумма двух функций, то учн(х) будет суммой двух учн1 и учн2 частных решений уравнений

yчн1¢¢¢ + yчн1¢ = (-i/2)eix, yчн2¢¢¢ + yчн2¢ = (i/2)eix.

Найдём каждое из них. В первом уравнении g = i и совпадает с корнем l2 = i, который имеет кратность1, следовательно yчн1 = xAeix, аналогично yчн2 = xBe-ix, где А и В – константы (в общем случае комплексные). Подставив yчн1 в первое уравнение, а yчн2 – во второе с учётом формулы (*), получим

Из последних соотношений найдём коэффициенты:

Аналогично

Следовательно, частное решение имеет вид

учн = учн1 + учн2 = (i/4)xeix – (i/4)e-ix = (-½)xSinx;

yчн = (-½)xSinx.

  Вывод. В колебательных процессах при совпадении частоты вынуждающей силы и собственных колебаний системы насьупает резонанс, т.е. амплитуда колебаний увеличивается в xS раз.

 

Задача 20.

 Метод вариации произвольных постоянных. Решить уравнение

  Решение. Данное уравнение не имеет специальной правой части. Поэтому его частное решение найдём методом вариации произвольных постоянных. Общее решение однородного уравнения имеет вид уоо = С1eix + C2 e-ix. Вещественное общее решение имеет вид уоо = С1Cosx + C2Sinx, где С1 и С2 – вещественные константы. Для данного случая метод вариации заключается в следующем. Решение учн(х) ищется в виде

учн(х) = С1(x)Cosx + C2(x)Sinx,

где С1 и С2 являются функциями х (свободные постоянные С1 и С2 ыарьируются). Согласно методу получим систему уравнений для функций С1(х) и С2(х):

С1¢(х)Cosx + С2¢(х)Sinx = 0;

-С1¢(х)Sinx + С2¢(х)Cosx = 2/Cos3x.

Определитель системы равен Cosx Sinx  = Cos2x + Sin2x = 1.

  -Sinx  Cosx

Для С1¢(х) и С2¢(х) получим

С1¢(х) = 0 Sinx , С1¢(х) = -2Sinx/Cos3x

 2/Cos3x Cosx

С2¢(х) = Cosx 0 , С2¢(х) = 2/Cos2x.

  -Sinx 2/Cos3x

Из последних соотношений найдём С1(х) и С2(х):

В методе вариации получающиеся константы С1 и С2 после интегрирования можно брать произвольными (достаточно найти одно частное решение, чтобы построить учн). Пусть С1 = 0 и С2 = 0, тогда

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнение вида . (5.1)

Если , то это уравнение с помощью подстановки , где  и  - новые переменные, а  и  - некоторые постоянные числа, определяемые из системы 

Приводится к однородному уравнению 

Если , то уравнение (5.1) принимает вид

.

Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

 

Второй способ. Сделаем замену переменной по формуле .

Тогда . Для того, чтобы выразить  через , продифференцируем равенство :

.

Тогда .

Замечание. Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

Одним из основных приемов при поиске первообразной является интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

.

Инженерная графика

 

Сопромат