Билеты к экзамену Курс высшей математики

Атомные станции России
Смоленская АЭС
Курская АЭС
Калининская АЭС
Кольская АЭС
Ростовская АЭС
Нововоронежская АЭС
Ленинградская АЭС
Билибинская АЭС
Белоярская АЭС
Балаковская АЭС
Безопасность АЭС
Экология
Модернизация АЭС
Перспективы
Соцкультбыт
Типы атомных станций
  • с реакторами РБМК 1000
  • с реакторами ВВЭР
  • с реакторами БН-600
  • Атомная энергетика
    Первая в мире атомная электростанция
    Юбилей Атомной энергетики
    Российские атомные ледоколы
    Ядерные реакторы
     
  • Ядерные топливные циклы
  • Безопасность АЭС
  • История атомной энергетики
  • Канальный кипящий графитовый реактор
  • Реакторы водо-водяного типа
  • Реакторы на быстрых нейтронах
  • Сравнение различных типов энергетических
    ядерных реакторов
  • Реакторы третьего поколения ВВЭР-1500
  • Безопасный быстрый реактор РБЕЦ
  • Энергетическая установка ГТ-МГР
  • ВАО АЭС
  • Импульсные реакторы 
  • Реактор БИГР (быстрый
    импульсный графитовый реактор)
  • Атомные батареи в космосе
  • Излучатели нейтронов
  • Изотопные источники электронов
  • Первый бетатрон для ускорения
    электронов
  • Альтернативная энергетика
    Курсовые проекты по ядерным реакторам
    Испытания ядерного оружия
     
  • Ядерные испытания том 1
  • Ядерные испытания том 2
  • Ядерное разоружение
  • Ядерное оружие
  • Ядерные испытания в Артике
     
  • Арктический ядерный полигон
  • Создание полигона
  • Подводные ядерные взрывы
  • Испытание оперативно-тактической
    ракеты
  • Аварии на ядерных реакторах
     
  • Чернобыльская катастрофа
  • Чернобыльская АЭС
  • Космические ядерные аварии
  • Курс Атомная энергетика
    Книга Укращение ядра
    Теплоэнергетика
    Малая теплоэнергетика
    Машиностроительное черчение
    и инженерная графика
    Приемы выполнения графических работ
    Инженерная графика
    Разъемные и неразъемные соединения
    Виды соединения деталей
    Работа в AutoCAD при выполнении чертежа
    Инженерная графика
    Аксонометрическая проекция
    Техническое черчение
    Компас-3d
    Лабораторные работы
    и задачи по электротехнике
    Трехфазные цепи
    Методы расчета электрической цепи
    Соединение нагрузки треугольником
    Преимущества трезфазных систем
    Расчет симметричных режимов работы
    трехфазных систем
    Расчет разветвленных однофазных цепей
    Расчет разветвленной магнитной цепи
    Математика
    Математика решение задач
    Линейная алгебра
    Дифференциальное исчисление
    Дифференциальные уравнения
    Теория вероятностей
    Математический анализ
    Геометрический смысл производной
    Числовые ряды
    функции комплексного переменного
    Вычислить интеграл Задачи и примеры
    Поверхностные и кратные интегралы
    Физические задачи

    Билеты к экзамену по высшей математике

    Компьютерная математика Mathematica
    Maple
    Матричная лаборатория MATLAB
    Физика
  • Электротехника
  • Кинематика, динамика, термодинамика
  • Электростатика, Магнетизм
  • Волновая и квантовая оптика
  • Физика в конспективном изложении
  • Законы геометрической оптики
  • Механизм ядерных реакций
  • Электромагнитные колебания
  • Ядерная физика
  • Строение и общие свойства атомных ядер
  • Модели атомных ядер
  • Радиоактивные превращения ядер
  • Ядерные реакции
  • Деление ядер
  • Курс Физика ядра и частиц
  • Сопротивление материалов
    Лабораторные работы по сопромату
  • Исследовать рабочую систему
    механизма редуктора
  • Лабораторные работы по сопромату
  • Содержание и задачи курса
    сопротивление материалов
  • Техническая механика
  • Балочные системы
  • Чертежи
  • Основные типы подшипников качения
  • Дизайн
     
  • Дизайн в промышленности
  • Западный и российский дизайн
  • История дизайна
  • Эргономика
  • Архитектура и проектирование
    промышленных изделий
  •  
    История искусства
    Техника иконописания
    Сюжеты древнерусской живописи
    Баухауз
    Информатика
    Информатика
    Турбо Паскаль
    Visual Studio
    Visual Foxpro
    Visual Basic
    CorelDRAW

    Новая технология .NET

     

    Локальный экстремум функций нескольких переменных.

    Необходимые условия безусловного локального экстремума

    Достаточные условия безусловного локального экстремума.

    Достаточные условия применительно к функции двух переменных

    Собственные интегралы, зависящие от параметра. Переход к пределу под знаком интеграла

    Дифференцирование под знаком интеграла, зависящего от параметра

    Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

    Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

    , (1)

    где  и  – заданные постоянные коэффициенты.

    Нам уже известно, что общее решение такого уравнения складывается из общего решения , соответствующего однородного уравнения

     (2)

    и какого-нибудь частного решения  уравнения (1), т.е. . (3)

    Как строить общее решение  однородного уравнения (2), мы рассмотрим в предыдущем параграфе. Поэтому теперь вопрос об общем решении уравнения (1) сведен лишь к вопросу о построении хотя бы какого-нибудь частного решения  уравнения (1). Вообще говоря,  можно, например, угадать. Но такой способ определения  очень ненадежен. Мы укажем сейчас точные способы, которые всегда приводят к цели.

    А. Правая часть уравнения (1) имеет специальный вид

    Рассмотрим функцию: , (4)

    где  – полиномы, а числа m и n – вещественные любые.

    По виду этой функции составим «контрольное число» .

    Пусть корни характеристического уравнения будут  и .

    Определим число k следующим образом:

    , если контрольное число не совпадает ни с одним из корней ;

    , если  совпадает с одним из корней ;

    , если .

    Правило. Если правая часть уравнения (1) имеет вид:

     (5),

    то частное решение следует искать в форме

     (6),

    где и  – полиномы степени, равной наивысшей из степеней полиномов и .

    Схема нахождения :

    зная вид , записывают  в форме (3), причем полиномы и  и  записываются с неопределенными коэффициентами;

    подставляют  в уравнение (1) вместо y, и приравнивают коэффициенты при одинаковых функциях справа и слева. Получают систему уравнений для коэффициентов многочленов . Решая эту систему, находят неизвестные коэффициенты.

    Найденные коэффициенты подставляют в формулу (3) и находят .

    Замечания:

    1. Если функция имеет вид:  или
    , то частное решение  все равно ищется в виде (6) .

    2. Если , то . В этом случае частное решение ищется в форме: . При этом степень  равна степени и .

    3. Если , то , а  имеет вид .

    Пример.

    Здесь:

    Характеристическое уравнение . Следовательно, .

    Поэтому  следует искать в виде:

    Отсюда Подставляя в уравнение и , находим:

    Отсюда  или

    .

    Следовательно, .

    В. Метод вариации произвольных постоянных

    В пункте А был изложен метод построения  для специального вида . Метод вариации произвольных постоянных применим для функции  любого вида.

    Итак, рассмотрим уравнение (1): , где – любая функция (непрерывная).

    Пусть нам известно общее решение однородного уравнения (2)

     (7)

    где – произвольные постоянные, а  и – частные решения уравнения (2).

    Будем искать частное решение уравнения (1) в виде , (8)

    т.е. в таком же виде, как общее решение (7), но только вместо произвольных постоянных подставим пока неизвестные функции. Найдем их. Поскольку  должно быть решением уравнения (1), то функции  и связаны только одной зависимостью. Для того чтобы их найти, этого недостаточно. Поэтому мы вправе наложить на них еще одно условие по произволу.

    Найдем производную  (9)

    Потребуем, чтобы  имело бы такой же вид, как если бы  и  были бы постоянными. Отсюда следует, что должно быть

    . (10)

    Тогда . (11)

    Найдем  (12)

    Подставляя и  определенные формулами (9), (11) и (12), в уравнение (1), тогда получим:

    или .

    Но  и суть решения однородного уравнения (2), поэтому имеем

     (13)

    Таким образом,  и  определяются из (10) и (13), т.е. из системы уравнений

     (14)

    Эта неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно  и  с определителем .

    Это определитель Вронского, по доказанному ранее , поэтому система (14) имеет единственное решение. Определение из (14)  и  интегрируя их, найдем  и , а затем и .

    Замечание. Если при интегрировании  и  ввести произвольные постоянные, то сразу получим общий интеграл неоднородного уравнения (1).

    Пример.

    Соответствующее однородное

    Характеристическое уравнение .

    Общее решение однородного уравнения

     

    Частное решение заданного уравнения ищем в виде , где  и  определяются из системы:

    Отсюда

    Общее решение будет

    или .

    Случай, когда пределы интеграла зависят от параметра. Формула Ньютона-Лейбница

    Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость по параметру

    Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости по параметру Критерий Коши

    Достаточное условие( признак Вейерштрасса)

    Основные теоремы о равномерно сходящихся по параметру интегралах

    Интеграл Фурье.

    Интегралы Эйлера. Гамма функция, свойства

    Интегралы Эйлера. Бета функция, свойства.

    Двойной интеграл. Суммы Дарбу

    Определение двойного интеграла по Риману

    Практический подход к расчету двойного интеграла на прямоугольной плоскости

    Двойной интеграл по Риману для произвольной области

    Тройной интеграл. Суммы Дарбу, свойства. Кубируемость

    Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Якобиан.

    Цилиндрическая, сферическая система координат

    Замена переменных для интегралов любой кратности.

    Криволинейные интегралы первого рода

    Криволинейные интегралы второго рода.

    Формула Грина

    Элементы теории поверхностей

    Квадрируемость двусторонней поверхности

    Теорема о квадрируемости в общем виде

    Поверхностный интеграл 1,2-го рода. И связь между ними.

    Векторная функция

    Свойства поверхностных интегралов второго рода

    Поверхностные интегралы второго рода

    Формула Гаусса –Остроградского

    Дивергенция векторного поля

    Количественная характеристика завихренности векторного поля

    Свойства градиента

    Теорема Стокса

    Потенциальные и соленоидальные поля

    Типовой расчет

    Неопределенные и определенные интегралы

    Линейность:

    1. .

    2. .

    Пример 1. Найти .

    Решение. Преобразуя подынтегральное выражение в сумму, и используя свойство линейности интеграла, получим сумму двух табличных интегралов:

    .

    Теорема (замена переменной в неопределенном интеграле):

    Пусть функция  является первообразной для функции  на некотором промежутке   и функция  непрерывная и имеет непрерывную производную на промежутке , причем для всякого значения  выполняется неравенство . Тогда будет справедлива формула:

     (*),

    где .

    Формулу (*) можно применять, не вводя явно новой переменной. В общем виде она будет выглядеть следующим образом: . Тогда, если  - первообразная функции , то . Такой прием называют внесением под знак дифференциала.

    Пример 2. Найти , .

    Решение.

    Первый способ. Приведем пример применения формулы *.

    Пусть требуется найти интеграл , .

    Сделаем замену переменной , то есть . Чтобы применить формулу, нужно сделать замену переменной в подынтегральной функции  и положить .

    В нашем интеграле  и . Тогда .

    Делая замену , получим окончательно .

    Второй способ. Сделаем замену переменной по формуле .

    Тогда . Для того, чтобы выразить  через , продифференцируем равенство :

    .

    Тогда .

    Замечание. Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

    Одним из основных приемов при поиске первообразной является интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

    .

    Приведем пример использования формулы.

     

    Курс лекций Сопротивление материалов