Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

Математический анализ

Разложение функций в ряды

Разложение в степенной ряд

Огромное разнообразие функций давно заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного представления. К таким представлениям относятся различные ряды, сходящиеся к значениям функций в окрестности заданной точки. Для разложения функции или выражения ехрr в обычный степенной ряд служат функции series(ехрr, eqn) и series(expr, eqn, n). Здесь ехрr — разлагаемое выражение, eqn — условие (например, в виде х=а) или имя переменной (например, х) и n — необязательное и неотрицательное целое число, задающее число членов ряда (при его отсутствии оно по умолчанию берется равным 6, но может переустанавливаться системной переменной Order). Если в качестве eqn задано имя переменной, то это соответствует разложению по этой переменной в области точки с ее нулевым значением. Задав eqn в виде х=х0, можно получить разложение по переменной х в окрестности точки х = х0.

Разложение получается в форме степенного многочлена, коэффициенты которого задаются рациональными числами. Остаточная погрешность задается членом вида 0(х)^n. При точном разложении этот член отсутствует. В общем случае для его удаления можно использовать функцию convert. Ниже представлены примеры разложения различных выражений в ряд:

Здесь видно, что член, обозначающий погрешность, отсутствует в тех разложениях, которые точны, например, в разложениях степенных многочленов. Для визуализации приближения рядами заданных аналитических зависимостей очень полезно построить на одном графике кривые аналитической зависимости и разложения в ряд. Мы это покажем чуть позже на примере ряда Тейлора.

FourierSinSeriesCoefficient[expr, {x,xmin,xmax}, n] ‑ возвращает синусные коэффициенты разложения expr[x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax}.

FourierCosSeriesCoefficient[expr, {x,xmin,xmax}, n] ‑ возвращает косинусные коэффициенты разложения expr[x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax}.

Помимо указанных функций существует целая группа функций для численных операций, связанных с разложением в ряд Фурье. Все они имеют в начале букву N. Например, функция NFourierTrigSeries[expr, {x,xmin,xmax}, n] – возвращает разложение expr[x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax} в численном виде.

В системе Maple, ориентированной на символьные вычисления, также нет развитых встроенных средств для осуществления преобразований Фурье. Имеются лишь две функции для вычисления косинусного и синусного интегралов Фурье для функции f(t), которые записываются в виде: fouriercos(expr,t,s), fouriersin(expr,t,s).

Одной из систем, обладающей довольно обширным набором средств для численного спектрального анализа, является система Mathcad. Кратко рассмотрим основные функции реализации спектрального анализа в данной системе:

fft(v) – выполняет быстрое преобразование Фурье (БПФ) для данных, представленных действительными числами – значениями исходного вектора v.

ifft(v) – реализация обратного преобразования Фурье для вектора v с комплексными элементами.

cfft(A), icfft(B) – аналогичны предыдущим функциям, но А – вектор с комплексными элементами. Кроме того, А может быть матрицей, и в этом случае реализуется двумерное преобразование Фурье.

В системе Mathcad существует целый набор функций для задания окон:

blackman(N) – окно Блэкмана;

cheby(N, ) – окно Чебышева для >1 (обычно >50);

costaper(N, ) – окно типа косинусоидальной трапеции для параметра  от 0 до 1;

gaussian(N, ) – окно Гаусса для  от 0 до 20;

kaiser(N, ) – окно Кайзера для  от 2 до 20;

hanning(N) – окно Хэннинга;

hamming(N) – окно Хэмминга;

nutall(N) – окно Натолла;

taprect(N) – трапецевидное окно;

triangular(N) – треугольное окно.

Кроме того, в пакете Signal Processing системы Mathcad имеется ряд функций оконного (короткого) спектрального анализа:

pspectrum(x,n,r [,w]) – расчет средней спектральной мощности сигнала х;

cspectrum(x,n,r [,w]) – расчет кросс-спектра сигнала х;

coherence(x,y,n,r [,w]) – расчет когенентности сигналов;

snr(x,y,n,r [,w]) – расчет отношения сигнал/шум для векторов х и у.

Освещение и методы закраски

 Следующим шагом на пути создания реалистических изображений является проблема закрашивания поверхностей, ограничивающих построенные объекты. Мы остановимся на описании некоторых простейших моделей, требующих сравнительно небольших вычислительных затрат.

 Световая энергия, падающая на поверхность от источника света, может быть поглощена, отражена и пропущена. Количество поглощенной, отраженной и пропущенной энергии зависит от длины световой волны. При этом цвет поверхности объекта определяется количеством поглощаемыми длинами волн.

Инженерная графика

 

Сопромат