Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Оглавление

 

Компьютерная алгебра

Математические выражения — основа описания алгоритмов вычислений. Фактически, вся символьная математика основана на тех или иных видах преобразований выражений. Такие преобразования и описаны в данном уроке.


  5.2.2. Уравнения параболического типа.

Еще один пример использования конечных разностей – уравнение диффузии.

 

Это уравнение параболического типа. Явная разностная схема для этого уравнения имеет вид

  

Эта разностная схема устойчива, если . Для краткости в дальнейшем мы будем обозначать весь множитель, стоящий перед скобкой, как .

Задаем коэффициент  
и диапазон изменения пространственной и временной координат:

 

Задаем начальные и граничные условия

   

Уравнение в конечных разностях имеет вид

Представляем результаты на графике. (Для большей наглядности изображена только центральная часть)

Основное достоинство явных методов – их простота – зачастую сводится на нет достаточно жесткими ограничениями на величину шага. Явные схемы обычно устойчивы при столь малых шагах по времени, что они становятся непригодными для практических расчетов. Этого существенного недостатка позволяют избежать неявные схемы. Свое название они получили потому, что значения искомой функции на очередном временном шаге не могут быть явно выражены через значения функции на предыдущем шаге.

Рассмотрим применение неявной схемы на примере уравнения теплопроводности

  

Запишем неявную разностную схему для этого уравнения

  

Здесь первый индекс соответствует пространственной, а второй – временной координате. В отличие от явной схемы, для вычисления в правой части уравнения используются значения функции на том же самом временном шаге. Вводя обозначение , уравнение можно переписать в виде

   

или в матричной форме

  

где .

Задаем количество узлов сетки (в данном случае оно одинаково для обеих переменных)

   

Задаем значения параметров   

и начальное распределение температуры в области

Формируем матрицы уравнения

 

   

   

Находим решение системы

 

Компьютерная математика Maple 7 электронный учебник

Символьные (аналитические) операции
Основные операции с выражениями
Работа с частями выражений
Работа с уровнями вложенности выражений
Преобразование выражений в тождественные формы
Преобразование выражений
Контроль за типами объектов
Подстановки
Функциональные преобразования подвыражений
Функциональные преобразования элементов списков
Подстановки с помощью функций add, mul и seq
Подстановки с помощью функций subs и subsop
Функции сортировки и селекции
Упрощение выражений
Расширение выражений
Факторизация выражений.
Разложение целых и рациональных чисел
Разложение выражений (факторизация)
Комплектование по степеням
Программирование символьных операций
Реализация итераций Ньютона в символьном виде
Вычисление интеграла по известной формуле
Вложенные процедуры и интегрирование по частям


Курс лекций Сопротивление материалов