Математика. Контрольные, курсовые и дипломные работы от лучших авторов!

Тройной интеграл Скалярное и векторное поле Геометрический смысл производной Числовые ряды Введение в ТФКП Вычислить интеграл Задачи и примеры Изменить порядок интегрирования Физические приложения тройных интегралов

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник Оглавление

 

Статистические расчеты

Использование анимационных технологий Mathematica 6 в задачах теоретической механики

Приводится программа анимации различных режимов качения без скольжения по неподвижной горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости тяжелого диска, снабжённого уравновешенным маховиком (неголономный диск-гиростат). Движение классического тяжелого диска получается в частном случае рассмотренной задачи при маховике, невращающемся относительно диска. Анимация движения сопровождается построением траектории точки контакта диска-гиростата и плоскости.

Качение круглого диска является одним из самых популярных примеров движения твердого тела с неголономной связью. В конце 19 века усилиями Г. Слессера [1] и других исследователей были получены уравнения движения катящегося диска. В работах С.А. Чаплыгина [2], П.Аппеля [3], Д.Кортвега [4] показано, что эти уравнения интегрируются в квадратурах. Гиростататическое обобщение этой задачи также сводится к интегрированию неоднородного гипергеометрического уравнения Гаусса и последующим квадратурам [5]. Интерес к задачам о движении диска-гиростата стимулируется проблемами конструирования одноколёсных роботов [6]. Поиск оптимальных энергетических и конструктивных решений связан с анализом неуправляемых свободных (баллистических) движений, которые могут использоваться в качестве основных режимов управляемых движений одноколесных роботов.

Современные высокопроизводительные компьютеры с соответствующим программным обеспечением существенно расширяют возможности трехмерной визуализации результатов решения задач теоретической механики.

Система символьных вычислений Мathematica позволяет не только эффективно составлять, преобразовывать, исследовать дифференциальные уравнения динамики механических систем [7], но и при помощи визуализации обеспечивать реалистические анимации рассматриваемых движений. Последняя, шестая, версия Мathematica имеет в своём арсенале несколько функций: Animate, ListAnimate, Manipulate, - значительно упрощающих построение анимаций. С помощью функции Manipulate возможно исследование влияния различных параметров на объекты Мathematica, в том числе и графические. Изменение параметра осуществляется многими удобными способами, один из которых – перемещение с помощью указателя мыши движка (слайдера) по шкале на экране.

Разнообразные опции и директивы графических функций Мathematica 6 способствуют созданию красочных, выразительных картин движения. Так, например, опция lighting даёт возможность имитировать освещение движущихся объектов. Директива Specularity определяет отражающие свойства поверхностей.

Обогащают анимацию звуковые эффекты, которые могут быть созданы средствами самой Мathematica 6 и других программ.

Проблема преобразования форматов решается с помощью функции Export. Эта функция позволяет сохранить полученные анимации в виде «avi» файлов, исполнение и преобразование которых не требует наличия на компьютере системы Мathematica 6.

2. Уравнения пространственного движения диска-гиростата, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости

Рассмотрим качение по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости тяжелого диска, несущего маховик, ось вращения  которого перпендикулярна плоскости диска и проходит через его центр масс С.

Для определения положения диска-гиростата введём следующие системы координат:  - неподвижная система координат, координатная плоскость которой совпадает с плоскостью качения диска-гиростата;  - кёнигова система координат с началом в центре масс диска С и осями, параллельными осям системы координат;  - подвижная система координат, жестко связанная с диском, с началом в его центре масс С и осью , перпендикулярной плоскости диска.

При условии, что маховик вращается вокруг оси , положение механической системы определяется шестью обобщёнными координатами: , где   координаты центра масс диска С относительно осей ,  углы Эйлера, задающие ориентацию системы координат  относительно ( - угол прецессии,  - угол нутации,  - угол собственного вращения [8]),  - угол поворота маховика относительно диска вокруг оси .

Рис. 1. Системы координат, определяющие положение диска-гиростата

Третья координата центра масс системы равна

,

где  – радиус диска.

Отсутствие скольжения в точке контакта Р диска с неподвижной плоскостью представляет собой неголономную связь, уравнение которой имеет вид

 (1)

где  - векторы скорости точки Р контакта диска и плоскости, центра масс С и угловой скорости диска соответственно.

Уравнения движения диска-гиростата, полученные в [5] из уравнений Чаплыгина [8], вместе с (1) образуют замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений десятого порядка

(2)

где ,  - моменты инерции маховика относительно осей  соответственно, , m – масса диска, H - постоянный кинетический момент маховика относительно оси . Первые два уравнения в системе (2) представляют собой неголономную связь (1).

 

В ядре системы Mathematica практически нет статистических функций. Зато пакет расширения Statistics дает сотни функций, охватывающих практически все разделы теоретической и прикладной статистики. Тем не менее, вопрос о привлечении универсальных математических систем к выполнению серьезных математических расчетов является спорным из-за существования множества специальных статистических компьютерных систем, таких как Statistica, StatGraphics и т. д.

Большинство специализированных статистических программ предлагают специальный интерфейс, базирующийся на обработке табличных данных большого объема, реализуют многовариантный расчет необходимых статистических параметров (например, регрессию сразу по десяткам формул) и отсев заведомо ошибочных данных. Поэтому при статистических расчетах применение подобных программ предпочтительно.

 

 

Компьютерная математика Maple 7 электронный учебник

Решение дифференциальных уравнений
Основные средства решения дифференциальных уравнений
Основная функция dsolve
Решение ОДУ первого порядка
Решение дифференциальных уравнений второго порядка
Решение систем дифференциальных уравнений
Численное решение дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения с кусочными функциями
Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol
Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools.


Курс лекций Сопротивление материалов