Физика ядра и частиц Взаимодействие частиц с веществом Электромагнитное взаимодействие Кварки Атомное ядро Магнитный дипольный момент ядра Законы радиоактивного распада ядер. Альфа-распад. Бета-распад Естественная радиоактивность

Потенциальная яма

Рис. 1
Рис. 1.

    Частица массы m находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 1). Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям

U(x) = бесконечность   x < 0, x > L
      = 0      0 < x < L

(1)

При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы 0 < x < L и не может выйти за ее пределы, т.е.

пси(x) = 0       x < 0, x > L

(2)

Условие нормировки

(3)

Используя станционарное уравнение Шредингера для случая U = 0, получим

(4)

или

,

(5)

где

a2 = 2mE/h/2.

(6)

Уравнение (5) описывает положение частицы внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение

пси(x) = Ae+iax + Be-iax,

(7)

представляющее собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направления вдоль оси x.
    Постоянные A и B находятся из граничных условий (2)

A + B = 0 при x = 0 т.е. B = -A.

(8)

Следовательно

пси(x) = A(e+iax - e-iax) = 2iA sin ax.

(9)

Условие пси(L) = 0 дает

2ia sin aL = 0.

(10)

Отсюда

aL = npi, Следовательно и a = npi/L,    где n = 1, 2, 3,...

(11)

Подставляя полученное значение a в соотношение (6), получим соотношение для энергии частицы в бесконечной прямоугольной яме

En = h/2a2/2m = n2pi2h/2/2mL2,     где n = 1, 2, 3,...

(12)

Волновые функции (9) имеют вид

псиn(x) = 2iA sin(npix/L).
псиn*(x) = -2iA sin(npix/L).

(13)

Константу A можно получить из условия

Нормированные волновые функции и собственные значения энергии для различных состояний приведены в табл. 1.

Таблица 1.

nСобственные функции псиПлотности вероятности псипси*Собственные значения энергии
1i(2/L)1/2sin(pix/L)(2/L)sin2(pix/L)pi2h/2/2mL2
2i(2/L)1/2sin(2pix/L)(2/L)sin2(2pix/L)4pi2h/2/2mL2
3i(2/L)1/2sin(3pix/L)(2/L)sin2(3pix/L)9pi2h/2/2mL2
 
ni(2/L)1/2sin(npix/L)(2/L)sin2(npix/L)n2pi2h/2/2mL2

Рис. 2
Рис. 2.

На рис. 2 показаны плотности вероятности обнаружения частицы в различных квантовых состояниях.
    Таким образом, для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее.

  1. Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях.
  2. Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.
  3. Частица не может иметь энергию равную нулю.
  4. Каждому значению энергии En соответствует собственная волновая функция псиn, описывающая данное состояние.
  5. Для собственной функции пси1(x) вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2 максимальна. Для состояния пси2(x) вероятность обнаружения частицы в этой точке равна 0.

    В случае гармонического осциллятора потенциальная энергия U имеет вид

U = kx2/2.

(14)

Станционарное уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид

(15)

Также как и в случае прямоугольной потенциальной ямы наблюдается дискретный спектр энергий состояний

En = (n + 1/2)hnu = (n + 1/2)h/omega,     где n = 0, 1, 2,...,

(16)

где omega = (k/m)1/2. Однако в отличие от прямоугольной ямы, спектр энергий эквидистантный. Каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, описываемая полиномом Эрмита Hn.

псиn = Hn(ax)e-a2x2/2,

(17)

(18)

где a2 = 4pi2mnu/h, = ax. В табл. 2 приведены собственные значения энергии En и нормированные собственные функции гармонического осциллятора псиn

Таблица 2

nСобственные значения энергии EnНормированные собственные функции псиn
0E0 = hnu/2пси0 = e-a2x2/2
1E0 = 3hnu/2пси1 = 2axe-a2x2/2
2E0 = 5hnu/2пси2 = (4a2x2 - 2)e-a2x2/2
3E0 = 7hnu/2пси3 = (8a3x3 - 12ax)e-a2x2/2
 
nEn = (n + 1/2)hnuпсиn = Hn(ax)e-a2x2/2

Рис. 3
Рис. 3.

На рис. 3 показана плотность распределения волновой функции гармонического осциллятора.
    Классический осциллятор не может выйти за пределы значений x, в которых потенциальная энергия равна энергии En для данного значения квантового числа n. В квантовом случае ситуация другая - существует отличная от нуля вероятность обнаружить частицу за пределами потенциальной ямы, т.е. частица может проникать на небольшое расстояние за стенку барьера.

 

 

 

Ядерная изомерия
Внутренняя конверсия
Эффект Мессбауэра
Законы сохранения в ядерных реакциях.
Сечение реакции
Ядерные реакции
Механизмы ядерных реакций. Составное ядро.
Механизмы ядерных реакций. Прямые реакции.
Деление ядер.
Тяжелые ядра (A < 100)
Сверхтяжелые ядра (A > 100)
Экзотические виды радиоактивного распада
Физика экзотических ядер
Распространенность элементов.
Ядерные реакции в звездах.
Образование легчайших ядер. Дозвездная стадия образования элементов
Звездная эволюция
Горение водорода
Поиск солнечных нейтрино
Горение гелия.
Горение углерода и кислорода.
Горение кремния.
Образование элементов тяжелее железа.
История Вселенной
Космические лучи. Их состав и происхождение
Объединение взаимодействий
Открытые вопросы физики ядра и частиц

Взаимодействие нейтронов с веществом При прохождении нейтронов через вещество они взаимодействуют только с ядрами атомов. Возможны следующие 6 случаев взаимодействия нейтронов с ядрами: 1. Упругое рассеяние Столкновение является упругим, когда сумма кинетических энергий 2 -х частиц до столкновения равна сумме их кинетических энергий после столкновения

Основные вопросы по курсу Физика ядра и частиц