Методы расчета электрической цепи переменного тока

Расчет разветвленных  однофазных цепей переменного тока  Пример решения типовой задачи Реальная катушка и реальный конденсатор включены параллельно в сеть переменного тока и потребляют из сети токи соответственно 40 и 25 А.

Символический метод расчета однофазных цепей переменного тока При выполнении заданий символическим (с помощью комплексных чисел) методом расчёта электрических цепей переменного тока необходимо пользоваться формулой, отражающей связь между показательной, тригонометрической и алгебраической формой записи комплексных чисел:

Симметричные трехфазные цепи при соединении фаз приемника звездой Обмотки трехфазного генератора соединены в звезду и каждая из них создает напряжение 127 В. Приемник состоит из трех одинаковых катушек, имеющих активное сопротивление 10 Ом каждая. Определить линейное напряжение, линейный и фазный токи и коэффициент мощности цепи. Катушки соединены в звезду.

Контрольная работа Для трехфазного приемника электрической энергии, соединенного по схеме треугольник определить фазные и линейные токи, активную, реактивную и полную мощность цепи и построить векторную диаграмму токов и напряжений, начертить схему замещения цепи.

РАСЧЕТ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ Заданы эквивалентная схема замещения трехфазного приемника и ее параметры, а также задано линейное напряжение со стороны приемника

Пример 1.2. Методом узловых потенциалов определить токи во всех ветвях схемы цепи 

Пример 1.3. В схеме цепи рис.1.9 определить токи во всех ветвях методом наложения. Ток в резисторе r3 проверить методом эквивалентного генератора.

ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Переменный синусоидальный ток – основные понятия: частота, период, мгновенное, среднее, действующее значения. Получение синусоидальной ЭДС. Изображение синусоидального тока вращающимися векторами. Понятие о векторных диаграммах. Пассивные элементы цепи синусоидального тока: активное сопротивление, индуктивность, ёмкость. Синусоидальный ток в активном сопротивлении. Синусоидальный ток в индуктивности. Синусоидальный ток в емкости.

Пример 2.3. На рис.2.9 изображена схема цепи с индуктивно связанными элементами.Требуется рассчитать токи, построить полную векторную диаграмму, определить показания ваттметров и вольтметра, а также величину и направление передачи активной мощности через индуктивную связь Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения действующих значений токов во всех ветвях;

Получение трёхфазных ЭДС. Способы соединения обмоток трёхфазных генераторов и ветвей приёмника. Положительные направления электрических величин в трехфазной системе. Симметричный режим трехфазной цепи при соединении в звезду и в треугольник. Соотношение между линейными и фазными величинами. Векторные и топографические диаграммы. Расчет симметричных и несимметричных трехфазных цепей. Трёхпроводные и четырехпроводные системы. Назначение нулевого провода.

Пример 3.1. Симметричный приемник имеет сопротивления фаз Ом, соединен в звезду и подключен к трехфазному генератору с симметричным линейным напряжением =127 В

Пример 3.2. Три одинаковых приемника энергии с сопротивлениями   Ом соединены треугольником и подключены к трехфазному генератору с симметричными  линейными напряжениями  В

Пример 3.3. Трехфазная нагрузка соединена в звезду и подключена к симметричному генератору с линейным напряжением  В

Пример 3.4. Определить показания приборов электродинамической системы, включенных в цепь, показанную на рис.3.15, если линейное напряжение симметричного генератора  = =220 В, сопротивления фаз приемника  Ом,  Ом,  Ом. Сопротивления проводов линии передачи  Ом. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.

МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

Метод симметричных составляющих относится к специальным методам расчета трехфазных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатической нагрузкой. В основе метода лежит представление несимметричной трехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений и т.п.) в виде суммы трех симметричных систем, которые называют симметричными составляющими. Различают симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз.

Симметричную систему прямой последовательности образуют (см. рис. 1,а) три одинаковых по модулю вектора image002.gifи image004.gifсо сдвигом друг по отношению к другу на image006.gifрад., причем image008.gifотстает от image010.gif, а image011.gif- от image012.gif.

image014.gif

Введя, оператор поворота image016.gif, для симметричной системы прямой последовательности можно записать

image018.gif.

Симметричная система обратной последовательности образована равными по модулю векторами image020.gifи image022.gifс относительным сдвигом по фазе на image023.gifрад., причем теперь image024.gifотстает от image026.gif, а image028.gif- от image029.gif(см. рис. 1,б). Для этой системы имеем

image031.gif.

image033.gifСистема нулевой последовательности состоит из трех векторов, одинаковых по модулю и фазе (см. рис. 1,в):

image035.gif.

При сложении трех указанных систем векторов получается несимметричная система векторов (см. рис. 2).

Любая несимметричная система однозначно раскладывается на симметричные составляющие. Действительно,



image037.gif;

(1)

image039.gif;

(2)

image041.gif.

(3)

Таким образом, получена система из трех уравнений относительно трех неизвестных image043.gif, которые, следовательно, определяются однозначно. Для нахождения image045.gifсложим уравнения (1)…(3). Тогда, учитывая, что image047.gif, получим

image049.gif.

(4)

Для нахождения image051.gifумножим (2) на image053.gif, а (3) – на image055.gif, после чего полученные выражения сложим с (1). В результате приходим к соотношению

image057.gif.

(5)

Для определения image059.gifс соотношением (1) складываем уравнения (2) и (3), предварительно умноженные соответственно на image060.gifи image061.gif. В результате имеем:

image063.gif.

(6)

Формулы (1)…(6) справедливы для любой системы векторов image065.gif, в том числе и для симметричной. В последнем случае image067.gif.

В заключение раздела отметим, что помимо вычисления симметричные составляющие могут быть измерены с помощью специальных фильтров симметричных составляющих, используемых в устройствах релейной защиты и автоматики.

Свойства симметричных составляющих токов
и напряжений различных последовательностей

image069.gifРассмотрим четырехпроводную систему на рис. 3. Для тока в нейтральном проводе имеем

image071.gif.

Тогда с учетом (4)

image073.gif,

(7)

т.е. ток в нейтральном проводе равен утроенному току нулевой последовательности.

Если нейтрального провода нет, то image075.gifи соответственно нет составляющих тока нулевой последовательности.

Поскольку сумма линейных напряжений равна нулю, то в соответствии с (4) линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности.

image077.gifРассмотрим трехпроводную несимметричную систему на рис. 4.

Здесь

image079.gif

Тогда, просуммировав эти соотношения, для симметричных составляющих нулевой последовательности фазных напряжений можно записать

image081.gif.

Если система ЭДС генератора симметрична, то из последнего получаем

image083.gif.

(8)

Из (8) вытекает:

в фазных напряжениях симметричного приемника отсутствуют симметричные составляющие нулевой последовательности;

симметричные составляющие нулевой последовательности фазных напряжений несимметричного приемника определяются величиной напряжения смещения нейтрали;

фазные напряжения несимметричных приемников, соединенных звездой, при питании от одного источника различаются только за счет симметричных составляющих нулевой последовательности; симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей у них одинаковы, поскольку однозначно связаны с соответствующими симметричными составляющими линейных напряжений.

image085.gifПри соединении нагрузки в треугольник фазные токи image087.gifи image089.gifмогут содержать симметричные составляющие нулевой последовательности image091.gif. При этом image092.gif(см. рис. 5) циркулирует по контуру, образованному фазами нагрузки.



Сопротивления симметричной трехфазной цепи
для токов различных последовательностей

Если к симметричной цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательностей, то в ней возникает симметричная система токов прямой (обратной или нулевой) последовательности. При использовании метода симметричных составляющих на практике симметричные составляющие напряжений связаны с симметричными составляющими токов той же последовательности. Отношение симметричных составляющих фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательности к соответствующим симметричным составляющим токов называется комплексным сопротивлением прямой

image094.gif,

обратной

image096.gif

и нулевой

image098.gif

последовательностей.

Пусть имеем участок цепи на рис. 6. Для фазы А этого участка можно записать

image100.gif.

(9)

Тогда для симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей с учетом, того, что image102.gif, на основании (9) имеем

image104.gif.

image106.gifОтсюда комплексные сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы и равны:

image108.gif.

Для симметричных составляющих нулевой последовательности с учетом равенства image110.gifсоотношение (9) трансформируется в уравнение

image112.gif,

откуда комплексное сопротивление нулевой последовательности

image114.gif.

В рассмотренном примере получено равенство сопротивлений прямой и обратной последовательностей. В общем случае эти сопротивления могут отличаться друг от друга. Наиболее типичный пример – различие сопротивлений вращающейся машины для токов прямой и обратной последовательностей за счет многократной разницы в скольжении ротора относительно вращающегося магнитного поля для этих последовательностей.

Применение метода симметричных составляющих
для симметричных цепей

Расчет цепей методом симметричных составляющих основывается на принципе наложения, в виду чего метод применим только к линейным цепям. Согласно данному методу расчет осуществляется в отдельности для составляющих напряжений и токов различных последовательностей, причем в силу симметрии режимов работы цепи для них он проводится для одной фазы (фазы А). После этого в соответствии с (1)…(3) определяются реальные искомые величины. При расчете следует помнить, что, поскольку в симметричном режиме ток в нейтральном проводе равен нулю, сопротивление нейтрального провода никак ни влияет на симметричные составляющие токов прямой и обратной последовательностей. Наоборот, в схему замещения для нулевой последовательности на основании (7) вводится утроенное значение сопротивления в нейтральном проводе. С учетом вышесказанного исходной схеме на рис. 7,а соответствуют расчетные однофазные цепи для прямой и обратной последовательностей (рис. 7,б) и нулевой последовательности (рис. 7,в).

image116.gif

Существенно сложнее обстоит дело при несимметрии сопротивлений по фазам. Пусть в цепи на рис. 3 image118.gif. Разложив токи на симметричные составляющие, для данной цепи можно записать

image120.gif

(10)

В свою очередь

image122.gif

(11)

Подставив в (11) значения соответствующих параметров из (10) после группировки членов получим

image124.gif

(12)

где image126.gif;

image128.gif

Из полученных соотношений видно, что если к несимметричной цепи приложена несимметричная система напряжений, то каждая из симметричных составляющих токов зависит от симметричных составляющих напряжений всех последовательностей. Поэтому, если бы трехфазная цепь на всех участках была несимметрична, рассматриваемый метод расчета не давал бы преимуществ. На практике система в основном является симметричной, а несимметрия обычно носит локальный характер. Это обстоятельство, как будет показано в следующей лекции, значительно упрощает анализ.

На всех участках цепи, где сопротивления по фазам одинаковы, image130.gifдля i¹k. Тогда из (12) получаем

image132.gif.

Лабораторные работы и задачи по электротехнике