Постулаты Эйнштейна Найти линейную скорость

Элементы специальной (частной) теории относительности Преобразования Галилея. Механический принцип относительности В классической механике справедлив механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Пример 10. Найти линейную скорость υ и центростремительное ускорение а точек на поверхности земного шара: а) на экваторе, б) на широте φ = 60°. Радиус земли принять равным R = 6400 км.

Анализ и решение: Линейная скорость любой точки на экваторе равна

 , (1)

где Т = 24 ч = 86400 с – период суточного вращения Земли.

Центростремительное ускорение

  (2)

На широте φ точки движутся по окружности радиусом (по параллели) с линейной скоростью

  (3)

и центростремительным ускорением

  (4)

Подставив численные значения в формулы (1 - 4) и вычислив, получим υ0 = 465 м/с, а0 = 0,034 м/с2, υφ = 233 м/с, аφ = 0,017 м/с2.

 

Пример 11. Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя со скоростью υ = 0,99с (с – скорость света в вакууме). Какое время пройдет по часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движущимся вместе с ракетой, прошел один год? Как изменятся линейные размеры тел в ракете (по линии движения) для неподвижного наблюдателя? Как изменится для этого наблюдателя плотность вещества в ракете?

Анализ и решение: Время, пошедшее по часам неподвижного наблюдателя, найдем по формуле

,

где t0 – собственное время в ракете. Размеры тел (вдоль линии движения) найдем из соотношения

,

где l0 – собственная длина тех же тел.

Плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя найдем по формуле

,

где .

Так как поперечные (по отношению к линии движения) раз­меры тел не изменяются, то

,

.

Найдем время, прошедшее по часам неподвижного наблюдателя:

Определим длину тел вдоль линии движения:

.

Найдем плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя:

.

Ответ: По часам неподвижного наблюдателя пройдет примерно 7,1 года; продольные размеры тел по линии движения сократятся и составят приблизительно ; для неподвижного наблюдателя плотность вещества в ракете увеличивается приблизительно в 50 раз.

Электрическая цепь составлена из источника тока с ЭДС e, внутренним сопротивлением 2 Ом и подключенных параллельно к источнику тока резисторов. Сопротивление резистора R1 = 10 Ом неизменно, а сопротивление R2 можно подобрать так, чтобы выделяемая в этом резисторе мощность была максимальной. Найдите значение R2, соответствующее этой максимальной мощности. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до десятых.

Дано:

Решение:

e

r = 2 Ом

R1 = 10 Ом

P2 = max

мощность, выделяемая в резисторе R2, можно определить из соотношения

Р2 = , (1)

R2 = ?

где

U2 = IRо. (2)

Здесь Rо – суммарное сопротивление при параллельном соединении.

Rо = . (3)

Силу тока I находим из закона Ома для полной цепи.

I =  = . (4)

Выражения (3) и (4) подставим в закон Ома для участка цепи (2).

U2 = ×. (5)

Вернемся к уравнению (1). Перепишем его с учетом (5).

Р2 = . (6)

Здесь величина R2 – переменная. Для ее нахождения возьмем первую производную в выражении (6) и приравняем ее нулю, так как Р2 = max – по условию.

=

 =

= =0

В полученном выражении нулю может быть равен только числитель.

 = 0.

Здесь e¹ 0 и  ¹ 0 – по условию. Следовательно,

rR1 + rR2 + R1R2 - 2 rR2 - 2 R1R2 = 0.

rR1 + rR2 - 2 rR2 - R1R2 = 0.

rR1 + R2(r - 2r - R1) = 0.

Отсюда

R2(R1+ r ) = rR1,

R2= .

После вычислений имеем.

R2=  = 1,7 (Ом).

  Ответ: R1 = 1,7 Ом

Пример 12. Две ракеты движутся навстречу друг другу со скоростями υl = υ2= 3/4 с по отношению к неподвижному наблюдателю. Определить скорость сближения ракет по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.

Анализ и решение: По классической формуле сложения скоростей

υ = υl + υ2.

По релятивистской формуле сложения скоростей

.

Подставив значения υ1 и υ2 получим:

по классической формуле сложения скоростей

Задачи для самостоятельного решения.

Из двух пунктов, расположенных на расстоянии х0 = 90 м друг от друга одновременно начали движение два тела в одном направлении. Тело, движущееся из первого пункта имеет скорость υ1 = 10 м/с, а тело движущееся из второго пункта имеет скорость υ2 = 4 м/с. Через сколько времени первое тело догонит второе. Результат представить в единицах СИ. 

[15 с]

Велосипедист проехал половину пути со скоростью 10 м/с, а половину оставшегося времени со скоростью 8 м/с, а затем до конца пути он ехал со скоростью 4 м/с. Определить среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути. Результат представить в единицах СИ. 

[7,5 м/с]

Мотоциклист за первые два часа проехал 90 км, а следующие три часа двигался со скоростью 50 км/ч. Какова средняя скорость (в км/ч) на всем пути? 

[48км/ч]

Пассажирский катер проходит расстояние 150 км между пристанями по течению за 2 часа, а против течения за 3 часа. Определить скорость катера в стоячей воде. Результат представить в км/ч. 

[62,5 км/ч]

Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку.  В некоторый момент времени первый автомобиль, скорость которого 27 км/ч, находится  на расстоянии 300 м от перекрестка. Второй в этот же момент времени находится на расстоянии 450 м от перекрестка. С какой скоростью движется второй автомобиль, если он достигает перекрестка через 5 с после первого? 

[10 м/с]

Пассажирский теплоход проходит расстояние между двумя пунктами на реке, равное 300 км за 10 часов (вниз по течению), а обратно за 12 часов. Найти скорость течения реки и скорость пассажирского теплохода в стоячей воде (в км/ч).

Скорость автомобиля за 20 с уменьшилась с 20 м/с до 10 м/с. С каким средним ускорением двигался автомобиль

[– 0,5 м/с2]

Хоккейная шайба пересекла ледяное поле длиной 60 м за 4 с и остановилась. Какую скорость сообщил шайбе хоккеист, ударив по ней клюшкой? 

[30 м/с]

Какова была начальная скорость автомобиля, если он, двигаясь с ускорением 1,5 м/с2 прошел 75 м и достиг скорости 15 м/с?

[0]

Автомобиль начинает движение из состояния покоя и, двигаясь по прямой, проходит первый километр с ускорением а1 а второй – с ускорением а2. При этом на первом километре его скорость увеличивается на 10 м/с, а на втором километре – на 5 м/с. Какое ускорение больше?

[а2 > а1]

При свободном падении над поверхностью Земли в последние 2 с тело прошло 28 м. Сколько времени продолжалось свободное падение тела? Результат представить в единицах СИ и округлить до десятых.

[2,4с]

Камень, брошенный горизонтально на высоте 2 м над Землей, упал на расстоянии 7 м от места бросания (по горизонтали). Определите конечную скорость камня. Принять g = 10 м/с2. Результат представить в единицах СИ и округлить до десятых. Сопротивление воздуха не учитывать.

[12,7 м/с]

Самолет летит горизонтально со скоростью 360 км/ч на высоте 490 м. Когда самолет пролетает над точкой О, с него сбрасывают предмет. На каком расстоянии от точки О упадет предмет на Землю? Результат представить в единицах СИ, g = 9,8 м/с2.

Уравнение прямолинейного движения тела имеет вид

.

Постройте график зависимости скорости от времени для данного вида движения.

На рисунке представлен график зависимости скорости от времени движения тела. На каком из участков (1, 2, 3 или 4) этого графика ускорение максимально? Обоснуйте ответ.

За 10 с материальная точка, двигаясь равномерно, прошла половину окружности, радиус которой 50 см. Определить линейную скорость движения этой точки. Результат представить в единицах СИ и округлить до сотых.

[0,16]

Маховое колесо диаметром 1,8 м совершает 50 оборотов в минуту. Определить ускорение точек на поверхности обода колеса. Результат представить в единицах СИ. При вычислении принять π2 =10.

[25]

Тело, равномерно вращаясь вокруг оси, совершает 100 оборотов за время, равное 20 с. На каком расстоянии от оси вращения находится точка, движущаяся со скоростью 2 м/с? Результат представить в единицах СИ и округлить до сотых.

Найти радиус маховика, если при вращении линейная скорость точек на ободе υ1= 6 м/с, а точек находящихся на расстоянии r = 30 см ближе к оси вращения, υ2 = 4,5 м/с. Сколько оборотов в минуту сделает маховик?

[R= 1,2м, п = 48 об.]

Пропеллер самолета диаметром 3 м вращается при посадке с частотой 2000 мин–1. Посадочная скорость самолета относительно Земли равна 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера при посадке. Результат представить в единицах СИ и округлить до целого числа.

[317 м/с]

Тело массой т прикрепленное к невесомой, нерастяжимой нити длиной l приводят во вращение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω. Какая из нижеприведенных формул позволяет рассчитать силу натяжения нити?

а) ;  б) ; в) kx; г) .

По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела 1 и 2: первое равномерно со скоростью υ0; другое равноускоренно без начальной скорости. Какой из приведенных графиков правильно описывает зависимость скорости тел от времени движения?

Ответы к тестам

При равноускоренном движении тела путь описывается формулой , где υ0 – начальная скорость; а – ускорение. Ответ: [б].

Сила натяжения нити рассчитывается по формуле , где ан – центростремительное ускорение тела. Так как , то.

Ответ: [б]

Первое тело движется равномерно с нулевой скоростью υ0. Второе тело движется равноускоренно, без начальной скорости, т.е. υ0 = 0, υ = at.

Ответ: [а].

Так как движение самолета равноускоренное (а = const), его скорость можно определить по формуле . Если υ0 = 0, тогда  .

Ответ: [г].

Постулаты специальной (частной) теории относительности Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (v<<с). Однако в конце XIX в. выяснилось, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заряженных частиц оказалось, что их движение не подчиняется законам механики. Далее возникли затруднения при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света


Колебания и волны. переменный ток