Лабораторные работы по теории цепей


Метод расчета по нелинейным характеристикам для действующих значений величин (метод условной линеаризации или метод эквивалентных синусоид)

Метод заключается в том, что несинусоидально изменяющиеся напряжения и токи заменяют эквивалентными синусоидами. Так можно поступать, если нелинейность сравнительно невелика и основное влияние на характер процесса оказывает основная гармоника напряжений и токов. Введение эквивалентных синусоид позволяет использовать для расчета символический метод, строить векторные диаграммы и т.д. В дальнейшем метод будем использовать для расчета катушки с ферромагнитным сердечником и для исследования феррорезонансных явлений.

Расчёт нелинейных цепей итерационным методом

Этот метод заключается в том, что сначала находят приближённое решение или задаются им, а потом его уточняют с учётом нелинейной характеристики путём многократной подстановки каждого решения в начальное уравнение цепи. Итерационные методы используются для численного решения задач с помощью ЭВМ. Метод будет применен для расчёта катушки с ферромагнитным сердечником.

Исследование частотных характеристик

1. Цель работы

Расчет и экспериментальная проверка амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик цепей первого и второго порядка.

2. Основные теоретические положения

Комплексной частотной характеристикой цепи называется отношение комплексных изображений отклика и воздействия:

  

Здесь Ymk, Yk — комплексные амплитуда и действующее значение реакции цепи; Xmk, Xk — комплексные амплитуда и действующее значение внешнего воздействия; k — номер выходных зажимов; v — номер входных зажимов.

Размерность комплексной частотной характеристики (КЧХ) равна отношению размерностей отклика цепи и внешнего воздействия. В зависимости от того, какие величины (токи или напряжения) рассматриваются в качестве откликов и внешних воздействий, КЧХ может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной.

Модуль КЧХ равен отношению амплитуд или действующих значений отклика цепи и внешнего воздействия, а ее аргумент представляет собой разность начальных фаз отклика и внешнего воздействия.

Если , КЧХ определяется выражением

  

следовательно, КЧХ цепи численно равна комплексной амплитуде реакции цепи на внешнее воздействие с единичной амплитудой и нулевой начальной фазой.

Зависимости модуля Нkv () и аргумента kv () комплексной частотной характеристики от частоты называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками цепи.

При графическом представлении комплексных частотных характеристик цепи обычно строят отдельно АЧХ и ФЧХ.

Комплексную частотную характеристику можно изобразить и в виде одной зависимости — годографа КЧХ, построенного на комплексной плоскости. Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место концов вектора Hkv(j), соответствующих изменению частоты от = 0 до = . На годографе указываются точки, соответствующим некоторым значением частоты , и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора Hkv(j) при увеличении частоты. Как видно из рисунка, годограф КЧХ позволяет одновременно судить об АЧХ и ФЧХ. Годограф КЧХ называют амплитудно - фазовой характеристикой (АФХ) цепи.

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные передаточные. Если отклик и внешнее воздействие рассматриваются на одних и тех же зажимах цепи, КЧХ называется входной. Если отклик и внешнее воздействие задаются на разных зажимах цепи, КЧХ называется передаточной. Различают два вида входных и четыре вида передаточных характеристик. Различные виды КЧХ сведены в таблицу 5.1.

Таблица 5.1.

Виды комплексных частотных характеристик

Тип

Наименование

КЧХ

Воздействие

Реакция

входные

входное сопротивление

Zvv

входная проводимость

Yvv

передаточные

коэффициент передачи по напряжению

Kkv

коэффициент передачи по току

Gkv

передаточное сопротивление

Zkv

передаточная проводимость

Ykv

 КЧХ линейных цепей не зависят от амплитуды и начальной фазы внешнего воздействия, а определяются структурой цепи и параметрами входящих в нее элементов. Знание КЧХ позволяет определить реакцию цепи на заданное гармоническое воздействие и. По виду КЧХ можно судить о свойствах цепи.

Системная функция и дифференциальное уравнение «вход-выход»

На примере покажем связь между системной функцией и дифференциальным уравнением «вход-выход».

L= - RiL(t) + u(t)

C= i(t) – iL(t).

Способом подстановки получаем реакцию u(t), выраженную через воздействие i(t):

iL(t) = - C+ i(t),

C=+ iL(t) -  u(t) = - + i(t) -  u(t).

.

С другой стороны, системная функция Z(p) =  

или .


Сравнивая это с дифференциальным уравнением, видим полную одинаковость, если сделать замену «p.

Напротив, по дифференциальному уравнению можно найти системную функцию. Используем положение п.11.3: входное воздействие ept порождает выходной сигнал H(p)ept . Таким образом, подставляем  i(t) = ept и u(t) = H(p)ept в дифференциальное уравнение и получаем H(p) p2 ept + H(p) p ept + H(p) ept = (p ept +  ept ).

Решаем относительно H(p) и получаем H(p) = Z(p).

 

XII. Нелинейные цепи

 

12.1. Основные понятия

Нелинейными считаются электрические и магнитные цепи, параметры которых зависят от тока и напряжения, магнитного потока и магнитного напряжения.

Строго говоря, все цепи являются нелинейными, однако во многих случаях нелинейностью их параметров можно пренебречь. Но существуют элементы цепи, нелинейность характеристик которых выражена весьма резко. Цепи с такими элементами обладают рядом свойств, отсутствующих у линейных цепей. Эти свойства позволяют создать автоматические системы управления и регулирования, устройства для преобразования электромагнитной энергии, для производства электрических измерений и передачи информации и т.д.

Характеристики нелинейных элементов являются нелинейными функциями одной или нескольких переменных. Для характеристики резисторов используются нелинейные вольт-амперные (ВАХ) характеристики - U(); индуктивностей - вебер-амперные (ВбАХ) характеристики - Ψ(); ёмкостей - кулон-вольтные (КВХ) характеристики - q().

У нелинейных элементов различаются статические и дифференциальные сопротивления, индуктивность, емкость.

Допустим, задана характеристика нелинейного элемента (рис. 12.1). статическим сопротивлением (индуктивностью, емкостью) в данной точке а характеристики называют отношение напряжения (потокосцепления, заряда) к току (току, напряжению), соответствующих этой точке.

 Rст = = mRtga;

Lст =  mLtga;

Cст =  mCtga;

где mR, mL, mC -масштабы сопротивления, индуктивности, емкости.

Дифференциальное сопротивление (индуктивность, емкость) в точке а определяется отношением бесконечно малых приращений напряжения (потокосцепления, заряда) и тока (тока, напряжения):

Rдиф = = mRtgb; Lдиф =  mLtgb; Cдиф =  mCtgb;

где b - угол между касательной и осью абсцисс.

Нелинейные элементы делятся на инерционные и безынерционные. Например, лампа накаливания, сопротивление которой зависит от температуры накала, обладает тепловой инерцией, поэтому в цепи переменного тока температура нити лампы в течение периода не меняется и при неизменном действующем значении тока лампа оказывается линейным элементом. Форма кривой тока в ней повторяет форму кривой напряжения на ней. При изменении действующего значения тока сопротивление лампы изменяется. К безынерционным относятся, например, полупроводниковые приборы. К расчету нелинейных цепей применимы все методы, основанные на законах Кирхгофа, потому что законы Кирхгофа справедливы для мгновенных значений величин. Методы же и принципы, основанные на законе Ома, неприменимы, так как между током и напряжением на элементе отсутствует пропорциональность. Вместо закона Ома необходимо пользоваться имеющимися нелинейными характеристиками. Таким образом, неприменимыми являются принцип наложения, метод контурных токов, принцип взаимности. Однако цепь, содержащая нелинейные и линейные элементы, может быть разделена на линейную и нелинейную части, для каждой из которых применимы свои методы и принципы расчета.

Понятия электрического тока и напряжения являются одними из основных в теории электрических цепей. Напряжения и токи представляют собой скалярные величины, которые могут принимать лишь вещественные значения – положительные или отрицательные. Значение напряжения (тока) в данный момент времени называют мгновенным значением напряжения (тока). Мгновенные значения напряжений и токов принято обозначать соответственно буквами  и . Чтобы подчеркнуть их зависимость от переменной , часто используют обозначения  и .
Метод контурных токов