Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

 


Метод расчета по нелинейным характеристикам для действующих значений величин (метод условной линеаризации или метод эквивалентных синусоид)

Метод заключается в том, что несинусоидально изменяющиеся напряжения и токи заменяют эквивалентными синусоидами. Так можно поступать, если нелинейность сравнительно невелика и основное влияние на характер процесса оказывает основная гармоника напряжений и токов. Введение эквивалентных синусоид позволяет использовать для расчета символический метод, строить векторные диаграммы и т.д. В дальнейшем метод будем использовать для расчета катушки с ферромагнитным сердечником и для исследования феррорезонансных явлений.

Расчёт нелинейных цепей итерационным методом

Этот метод заключается в том, что сначала находят приближённое решение или задаются им, а потом его уточняют с учётом нелинейной характеристики путём многократной подстановки каждого решения в начальное уравнение цепи. Итерационные методы используются для численного решения задач с помощью ЭВМ. Метод будет применен для расчёта катушки с ферромагнитным сердечником.

При гармоническом внешнем воздействии уравнения, описывающие трансформатор имеют вид:

Эти уравнения равносильны следующим:

Данные уравнения являются контурными уравнениями для схемы рис. 4.2. Векторная диаграмма диаграмма векторов на комплексной плоскости, построенная с учетом их взаимной ориентации по фазе.

Рис. 4.2. Схема замещения линейного трансформатора, не содержащая связанных индуктивностей.

При одинаковом числе витков первичной и вторичной обмоток разности (L1 –M) и (L2 – M) имеют физический смысл индуктивностей рассеяния.

Совершенным трансформатором называется идеализированный четырёхполюсный элемент, представляющий собой две связанные индуктивности с коэффициентом связи, равным единице. В совершенном трансформаторе R1 = R2 = 0, M = , и уравнения, связывающие токи и напряжения обмоток, имеют вид

Коэффициент трансформации

.

Совершенный трансформатор, ток намагничивания которого равен нулю, называется идеальным трансформатором. Компонентные уравнения идеального трансформатора, согласно (11.10), имеют вид:

Из компонентных уравнений следует, что при любом значении сопротивления нагрузки отношение напряжения вторичной обмотки к напряжению первичной обмотки идеального трансформатора равно отношению токов первичной и вторичной обмоток:

В связи с тем, что коэффициент трансформации n является действительным числом, напряжение и ток первичной обмотки имеют такие же начальные и фазы, как соответственно напряжение и ток вторичной обмотки, и отличаются от них только по амплитуде.

Мгновенная и комплексная мощности, потребляемые первичной обмоткой, равны мгновенной и комплексной мощностям, отдаваемым идеальным трансформатором в нагрузку:

КПД идеального трансформатора равен единице.

Если к зажимам 2 — 2’ идеального трансформатора подключено сопротивление нагрузки Zн, то его входное сопротивление со стороны зажимов 1 – 1’ равно

Таким образом, входное сопротивление идеального трансформатора отличается от сопротивления нагрузки в n2 раз. Это свойство трансформатора широко используется в радиоэлектронных устройствах для согласования сопротивления источника энергии с нагрузкой.

В отличие от идеального, в реальном трансформаторе происходят потери энергии, он характеризуется в ряде случаев значительными паразитными емкостями, индуктивность его обмоток имеет конечное значение, а потоки рассеяния не равны нулю. Как правило, при разработке конструкции трансформатора принимается ряд мер, направленных на приближение его свойств к свойствам идеального трансформатора.

Составление уравнений состояния

Рассмотрим составление уравнений на примере (рис. 11.25). Требуется определить токи.

C1

 
Переменные состояния – Xk(t): iL(t), uC1(t), uC2(t). Источники – Fl(t): j(t).

Выходные величины- Wm(t): i1(t), i2(t), iR(t).

Уравнения состояния составляются следующим образом: для uL(t) - уравнения по второму закону Кирхгофа, для iC(t) - по первому закону Кирхгофа:

 uL(t) = uC1(t) - uC2(t),

 i1(t) = j(t) - iL(t),

i2(t) = iL(t) - iR(t) = iL(t) - .

Но uL(t) = L; Тогда  = 0 +-+ 0;

 i1(t) = C1= - + 0 + 0 +;

 i2(t) = C2=  + 0 - + 0.

 

Здесь X =  ; K = ; L F = .

Последняя система – система уравнений состояния в форме Коши.

По законам Кирхгофа выходные величины выражаются через входные и переменные состояния. Получаем уравнения связи:

i1(t) = - iL(t) + 0 + 0 + j(t),

i2(t) = iL(t) + 0 -  + 0,

iR(t) = 0 + 0 +  + 0.

Здесь W = ; M = ; N F = .

 

10.17.3. Решение уравнений матричным способом

Основная трудность – решение уравнения (1) и определение переменных состояния. Решение этого уравнения представляется в виде: X(t) = eKt Ф(t), (2)

где  Ф(t) - некоторая матричная функция цепи,

 а eKt - матричная экспоненциальная функция.

После дифференцирования (2): X(t) = K X(t) + eKt Ф(t). (3) 

Сравниваем (3) и (1): eKt Ф(t) = L F(t).

Ф(t) =  L F(q) dq,  где q - переменная интегрирования.

Или Ф(t) =  L F(q) dq +  L F(q) dq.  (4)

Подставляем (4) в (2): X(t) = eKt L F(q) dq + eKt  L F(q) dq.

Но  L F(q) dq = X(0), следовательно, 

X(t) = eKt X(0) + eKt L F(q) dq  - (5)

реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и при нулевом начальном состоянии.

Для вычисления матричной экспоненциальной функции предлагается следующий путь.

Сначала находятся собственные значения l матрицы K, то есть корни уравнения 

det(K-l*1) = 0, где 1 - единичная матрица порядка K.

= 0, Kij - элементы матрицы K.

Собственные значения совпадают с корнями pk характеристического уравнения цепи. Если значения l различны, то матричная экспонента 

eKt = a0 1 + a1 K + a2 K2 + … + aK-1 KK-1,

где aK - функции времени, K2 = K K , K3 = K K K и так далее.

Для определения aK составляем алгебраическую систему из K уравнений:

a0 + l1 a1 +   a2 + … + aK-1 = el1t,

a0 + l2 a1 +  a2 + … + aK-1 = el2t,  (6)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a0 + lk a1 +  a2 + … + aK-1 = elkt.

Определив  aK, находим eKt и затем X(t) по (5). Если среди K собственных значений матрицы K есть q кратных li, то для K-q-1 разных корней составляется система (6), а для q кратных уравнения получаются после вычисления q-1 производных по li от обеих частей уравнения с корнем li, то есть a1 + 2li a2 + 3 a3 + … = t elit,

2 a2 + 6li a3 + … = t2 elit,

. . . . . . . .  . . . . . . .

Понятия электрического тока и напряжения являются одними из основных в теории электрических цепей. Напряжения и токи представляют собой скалярные величины, которые могут принимать лишь вещественные значения – положительные или отрицательные. Значение напряжения (тока) в данный момент времени называют мгновенным значением напряжения (тока). Мгновенные значения напряжений и токов принято обозначать соответственно буквами  и . Чтобы подчеркнуть их зависимость от переменной , часто используют обозначения  и .

Инженерная графика

 

Начертательная геометрия
Теория цепей
Сопромат
Лабораторные работы
Электротехника
Математика