Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

 


Метод кусочно-линейной аппроксимации

Порядок действий:

Нелинейную характеристику элемента заменяют рядом прямолинейных отрезков, которые близко совпадают с нелинейной характеристикой.

Систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих состояние цепи, заменяют совокупностью систем линейных дифференциальных уравнений, соответствующих участкам аппроксимации.

Решают системы дифференциальных уравнений.

Определяют постоянные интегрирования.

Производят припасовку результатов, полученных для соседних участков аппроксимации.

Метод целесообразно применять, когда характеристика состоит из небольшого количества почти прямолинейных участков. Он наиболее эффективен в тех случаях, когда участки аппроксиммированной характеристики параллельны осям координат, особенно, если совпадают с осями.

Если цель не содержит накопители энергии, то дифференциальные уравнения не приходится составлять.

Правила составления узловых уравнений.

Формирование Yij.

Собственная  проводимость Yii i-гo узла - это сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к данному узлу.

Взаимная проводимость i-гo и j-го узлов — это сумма проводимостей всех ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятая с противоположным знаком. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные непосредственно между i-м и j-м узлами, то Yij = 0.

Для линейной электрической цепи состоящей только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников тока матрица узловых проводимостей квадратная и симметричная относительно главной диагонали.

Формирование Ui0.

Это матрица-столбец неизвестных напряжений узлов.

2. Формирование Ji0.

Узловым током Ji0 i-го узла называется алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к данному узлу. Если ток какого-либо источника тока направлен к i-му узлу, то он входит в Ji0 со знаком плюс, если ток направлен от i-го узла, то он входит в знаком минус.

Решая систему узловых уравнений любым из методов, можно найти все неизвестные узловые напряжения цепи цепи. Методы расчета сложных цепей Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных электрических цепей. Теория электрических цепей Курс лекций и задач

Например, выражение для напряжения k-го узла при использовании формулы Крамера:

где — определитель системы уравнений;

ij— алгебраическое дополнение элемента Yij этого определителя.

Если цепь содержит независимые источники напряжения, то следует: заменить источники напряжения независимыми источниками тока с помощью эквивалентных преобразований, либо составить систему узловых уравнений с учётом того, что не все узловые напряжения будут независимы: узловые напряжения двух узлов, между которыми включён источник напряжения, будут отличаться только на напряжение этого источника. Количество неизвестных узловых напряжений сокращается при этом на число независимых источников напряжения. Матрица контурных проводимостей в этом случае будет не квадратной: число столбцов будет равно числу независимых узлов, а число строк — числу неизвестных независимых узловых напряжений.

Метод наложения позволяет рассчитывать реакцию цепи на сложное воздействие. Реакция линейных цепей на произвольное внешнее воздействие, представляющее собой линейную комбинацию более простых воздействий, равна линейной комбинации реакций, вызванных каждым из простых воздействий в отдельности.

Таким образом, ток или напряжение любой ветви линейной электрической цепи, содержащей наряду с пассивными элементами зависимые и независимые источники тока и напряжения, равны сумме частичных токов или напряжений, вызванных действием каждого независимого источника в отдельности.

Расчетная часть

3.1. Определите комплексные действующие значения токов в ветвях и напряжений на элементах цепи методами:

а) контурных токов;

б) узловых напряжений;

в) наложения (в ветви C1R3).

R1 L1  L2 R2 

  Принципиальная схема цепи изображена на рис. 3.1, эквивалентная схема замещения - на рис. 3.2. Параметры элементов для каждого лабораторного стенда приведены в таблице, находящейся в лаборатории. Начальную фазу напряжений U1 и U2 примите равной 0.

Рис. 3.1. Принципиальная схема исследуемой цепи

3.2. Проверьте правильность расчетов по балансу мощностей.

3.3. По результатам расчетов постройте векторные диаграммы токов и напряжений на элементах.

3.4. Ознакомьтесь с содержанием  эксперимента и продумайте порядок его выполнения.

3.5. Докажите, что разность фаз между UR2 и (-Е2) равна разности фаз между UR2 и E1.

Рис. 3.2. Эквивалентная схема исследуемой цепи

Периодическая (колебательная разрядка конденсатора)

Возникает при  R < Rкр . Корни в этом случае комплексные и сопряжённые. Обозначим

p1,2 = - a + jwсв, где a =  - коэффициент затухания, а  wсв = - угловая частота собственных или свободных колебаний контура, Тсв - соответственно, период собственных колебаний.

Решение дифференциального уравнения при комплексных корнях:

uC = uCсв = A e-at sin (wcв t + y),

i = iсв = C A e-at [-sin (wcв t + y) + wcв cos(wcв t + y)].

В соответствии с начальными условиями i(0+) = 0, и uC(0+) = U

U = A siny

0 = C A (-asiny + wcв cosy).

Из второго уравнения tgy = . Из первого:

A=U= =.

Таким образом, uC = UCm e-at sin (wcв t + y).

Без вывода i = Im e-at sin (wcв t + p), uL = ULm e-at sin (wcв t - y),

 где Im =, ULm = UCm = .

Графики приведены на рис. 11.15. Длительность переходного процесса определяется через коэффициент затухания Tпп = (3 - 5) .

 

10.9.4. Включение R-L-C цепи на постоянное напряжение

iпр = 0, а uпр = e(t) = U, а не нулю, как ранее, поэтому uCсв(0) = - U.

При апериодическом процессе знаки коэффициентов A1 и A2 изменятся на обратные. В этом случае

uC = U + (p2 ep1t - p1 ep2t),

i = (ep1t  - ep2t),

uL = (p1 ep1t  - p2 ep2t).

Графики на рис. 10.16.

При R = Rкр процесс практически такой же.

 

uCсв

 

 

 
При колебательной зарядке конденсатора процессы протекают аналогично рассмотренным, но знак коэффициента A меняется на обратный: 

 

Рис. 11.16

 

 

 
uC = U - UCm e-at sin (cв t + ),

i = Im e-at sin (cв t),

uL = - ULm e-at sin (cв t - ).

Графики на рис. 10.17.

Заслуживает внимания включение на постоянное напряжение идеального колебательного контура (R=0). В этом случае a = 0, tg Y = ¥ Þ Y = , wсв =   = w0 - частота собственных колебаний имеет наибольшее значение и равна резонансной частоте последовательного контура.

uC = U – U cos (w0 t),

i =   U sin (w0 t),

uL = Ucos (w0 t).

 

Напряжение uC колеблется в пределах от 0 до 2U. Оно достигает наибольшего значения через половину периода после включения цепи. Этим пользуются в импульсной технике для получения напряжения на конденсаторе, равного двойному значению напряжения источника питания.

С энергетической точки зрения процесс включения R-L-C - цепи на постоянное напряжение интересен тем, что при любых R, L, C половина энергии, полученной от источника за время переходного процесса, перейдёт в тепло, а другая половина запасётся в электрическом поле конденсатора:

;

uL dt = L di; i dt = C duC;

U  C U2 – C = C .

В частном случае, при L=0, то есть при включении RC - цепи на постоянное напряжение, будут те же самые энергетические соотношения.

Расчет цепей с вентилями

Для их расчета применяют метод кусочно-линейной аппроксимации. Расчет выполняется для интервала времени, равного длительности периода переменной ЭДС. Последовательность расчета:

Выбирается один из способов кусочно-линейной аппроксимации вентилей цепи.

Анализируется состояние цепи в начальный момент периода и составляется схема замещения цепи, в которой диоды представляются линейными участками цепи в соответствии со способом аппроксимации.

Рассчитывается полученная линейная схема, которая справедлива для интервала 0£wt£ wt1.

Граница интервала wt1 определяется из условия перехода диода из одного состояния в другое (перехода рабочей точки с одного участка характеристики на другой).

Например, для идеального диода условие отпираниия – uVD=0 (iVD=0 выполнялось до того), а условие запирания - iVD=0 (uVD=0 было и до того).

Затем выполняются этапы 2-4 для следующего интервала wt1 £ wt £ wt2 и т.д. до окончания периода.


Инженерная графика

 

Начертательная геометрия
Теория цепей
Сопромат
Лабораторные работы
Электротехника
Математика