Лабораторные работы по теории цепей


Метод кусочно-линейной аппроксимации

Порядок действий:

Нелинейную характеристику элемента заменяют рядом прямолинейных отрезков, которые близко совпадают с нелинейной характеристикой.

Систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих состояние цепи, заменяют совокупностью систем линейных дифференциальных уравнений, соответствующих участкам аппроксимации.

Решают системы дифференциальных уравнений.

Определяют постоянные интегрирования.

Производят припасовку результатов, полученных для соседних участков аппроксимации.

Метод целесообразно применять, когда характеристика состоит из небольшого количества почти прямолинейных участков. Он наиболее эффективен в тех случаях, когда участки аппроксиммированной характеристики параллельны осям координат, особенно, если совпадают с осями.

Если цель не содержит накопители энергии, то дифференциальные уравнения не приходится составлять.

Простейшие электрические цепи при гармоническом воздействии

1. Цель работы

Освоение метода комплексных амплитуд и экспериментальная проверка амплитудных и фазовых соотношений в линейных цепях при гармоническом воздействии.

2. Основные теоретические положения

Гармонические колебания – одна из наиболее распространённых форм тока и напряжения в электрических цепях. При гармоническом воздействии на линейную цепь реакция цепи - также функция гармоническая.

Для анализа цепей при гармоническом внешнем воздействии практически всегда применяется метод комплексных амплитуд. Комплексная амплитуда – величина, несущая информацию об амплитуде и начальной фазе гармонического колебания. Законы Кирхгофа формулируются не только для мгновенных значений токов и напряжений, но и для комплексных амплитуд и комплексных действующих значений токов и напряжений.

В рамках метода комплексных амплитуд участок цепи можно характеризовать его комплексным сопротивлением (закон Ома в комплексной форме).

Задача анализа цепи в этом случае решается в следующем порядке: Расчет неразветвленной магнитной цепи Расчет электрических цепей

Формирование эквивалентной схемы цепи:

переход от мгновенных значений токов и напряжений к их комплексным амплитудам (комплексным действующим значениям);

определение комплексных сопротивлений элементов.

Расчёт эквивалентной схемы:

составление системы уравнений электрического равновесия на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме;

решение системы уравнений и определение комплексных амплитуд искомых величин;

проверка полученных решений с использованием векторных диаграмм, баланса мощностей, законов Кирхгофа.

Переход от комплексных амплитуд к функциям времени (мгновенным значениям токов, напряжений).

Метод комплексных амплитуд подробно изложен в [1, с. 63-111], [2, с. 76-118], [3, с. 115 – 142].

Основные расчетные соотношения:

Связь мгновенного значения напряжения (тока) и комплексной амплитуды:

где u(t) – мгновенное значение напряжения;

Um – амплитуда напряжения, [B];

 – круговая частота, [рад/с];

U – начальная фаза, [рад];

 – комплексная амплитуда, [В].

Связь амплитудных и действующих значений гармонического напряжения (тока):

,

где U – действующее значение напряжения;

 – комплексное действующее значение напряжения.

Комплексное сопротивление двухполюсника Z:

где  – комплексная амплитуда напряжения на зажимах двухполюсника;

  – комплексная амплитуда тока, протекающего через двухполюсник.

Комплексная проводимость цепи Y:

Закон Ома в комплексной форме:

.

Соотношения между токами и напряжениями в идеализированных элементах цепи при гармоническом воздействии:

R

L

C

Переходные процессы при мгновенном изменении реактивных параметров участков цепи (при “некорректных” коммутациях)


Рассмотрим рис. 10.24а.

До коммутации i1(0-)=, i2(0-) = 0. После коммутации i1(0+) = i2(0+). i1(0+) ¹ i1(0-)

и i2(0+) ¹ i2(0-) - нарушение первого закона коммутации в ранее принятом виде.

Токи в катушках изменятся скачком, что возможно только при бесконечно больших напряжениях на катушках. Суммарное напряжение U - конечно. Следовательно,

uL1(0) = L1  = - uL2(0) = - L2  .

Интегрируя это равенство в пределах от t = 0- до t = 0+ , находим

L1   = - L2 или L1   = - L2.

То есть L1 (i1(0+) - i1(0-)) = - L2 (i2(0+) - i2(0-))

или L1 Di1 = - L2 Di2 или DY1 + DY2 = 0.

Первый обобщенный закон коммутации. Потокосцепление любого замкнутого контура в момент коммутации (t = 0+) равно алгебраической сумме потокосцеплений всех входящих в него катушек, которые последние имели непосредственно до коммутации (t = 0-). Некоторые из этих катушек перед коммутацией могли одного замкнутого контура и не составлять, а образовали его лишь после коммутации.

Этот закон годится и для цепей с индуктивной связью.

В данной задаче Y(0-) = L1 i1(0-) + L2 i2(0-) = L1 i1(0-); Y(0+) = (L1 + L2) i(0+).

Но Y(0-) = Y(0+). Отсюда i1(0+) = i2(0+) = i(0+) = i1(0-).

Энергия магнитного поля до коммутации WМ(0-) = .

После коммутации: WМ(0+) =  =

= WМ(0-) < WМ(0-).

Разность этих энергий расходуется на необратимые процессы во время коммутации, хотя длительность коммутации бесконечно малая. Это возможно, так как на участках цепи развиваются бесконечно большие мощности.

Аналогично в схеме рис. 11.24б напряжения uC1 и uC2 изменятся скачком ввиду большого тока между конденсаторами, то есть С1  = - С2 ; С1  = - С2.

С1 DuC1 = - C2 DuC2 или Dq1 + Dq2 = 0.

Второй обобщенный закон коммутации. Изменение зарядов на всех параллельно включенных конденсаторах за время коммутации равно нулю. То есть сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией (t = 0-) равна сумме зарядов непосредственно после коммутации  (t = 0+). Легко убедиться, что WЭ(0+) < WЭ(0-).

Такие результаты – итог предельной идеализации явления. В действительности большие напряжения между контактами ключа вызовут электрическую искру или дугу. Кроме того, не учитывались сопротивления проводов и контактов соединений, наличие распределённой ёмкости между витками катушки. Разность энергий W(0-) - W(0+) расходуется в неучтённых сопротивлениях цепи и на излучение при весьма высокой частоте.

Расчет цепей с вентилями

Для их расчета применяют метод кусочно-линейной аппроксимации. Расчет выполняется для интервала времени, равного длительности периода переменной ЭДС. Последовательность расчета:

Выбирается один из способов кусочно-линейной аппроксимации вентилей цепи.

Анализируется состояние цепи в начальный момент периода и составляется схема замещения цепи, в которой диоды представляются линейными участками цепи в соответствии со способом аппроксимации.

Рассчитывается полученная линейная схема, которая справедлива для интервала 0£wt£ wt1.

Граница интервала wt1 определяется из условия перехода диода из одного состояния в другое (перехода рабочей точки с одного участка характеристики на другой).

Например, для идеального диода условие отпираниия – uVD=0 (iVD=0 выполнялось до того), а условие запирания - iVD=0 (uVD=0 было и до того).

Затем выполняются этапы 2-4 для следующего интервала wt1 £ wt £ wt2 и т.д. до окончания периода.


Метод контурных токов