Основы теории цепей

Стоячая электромагнитная волна не переносит энергию от источника к приёмнику, хотя на каждом участке имеется энергия, запасённая в электрическом и магнитном полях линии. С течением времени наблюдается периодический процесс перехода энергии из одного вида в другой. Пучности стоячей волны напряжения имеют место в тех точках линии, в которых амплитуда мгновенных значений напряжения наибольшая, а узлы – в тех точках, где мгновенное значение напряжения равно 0 в любой момент времени. Аналогично для стоячей волны тока.

Анализ электрических цепей в частотной области

Комплексные частотные характеристики цепей. идеализированных двухполюсных пассивных элементов. цепей с одним энергоемким элементом

Цели изучения

1) Определение системных функций электрических цепей – частотных характеристик

2) Изучение методов расчёта частотных характеристик

12.1. Комплексные частотные характеристики цепей

Задача анализа электрической цепи была сформулирована ранее как задача определения реакции на заданное внешнее воздействие. Вынесем из рассматриваемой все ветви, содержащие независимые источники тока и напряжения, а также токи или напряжения которых подлежат определению. Оставшуюся часть цепи, содержащую идеализированные пассивные элементы управляемые источники, представим в виде многополюсника (рис. 12.1,а)

 

Рис. 12.1. Представление цепи в виде многополюсника.

Зажимы (полюса), к которым подключается каждый из независимых источников, задающих внешнее воздействие на цепь, называются входными. Зажимы, служащие для подключения нагрузки, т. е. ветви, ток или напряжение которой необходимо определить, выходными. Деление зажимов на входные и выходные является в некоторой степени условным, так как одна и та же пара зажимов может одновременно быть и входной, и выходной (например, когда внешнее воздействие на цепь задается некоторым независимым источником напряжения и требуется определить ток ветви, содержащей этот источник). Пара зажимов называется также портом или стороной многополюсника.

Из определения входных и выходных зажимов следуют важные особенности:>

1) ток, втекающий через один зажим порта, равен току, вытекающему другой этого же порта;

2) между парами полюсов, принадлежащих к разным портам, не должно быть никаких внешних по отношению многополюснику соединений (внутри многополюсника соединения, естественно, могут быть).

Ограничимся рассмотрением случая гармонического внешнего воздействия; при этом от исследования соотношений между мгновенными значениями реакции цепи yk(t) и воздействия xn (t) можно перейти к исследованию их комплексными изображениями.

Комплексной частотной характеристикой цепи называется отношение комплексных изображений отклика и воздействия:

 (12.1)

Здесь Ymk, Yk — комплексные амплитуда и действующее значение реакции цепи; Xmk, Xk внешнего воздействия; k номер выходных зажимов; v входных зажимов.

Размерность комплексной частотной характеристики (КЧХ) равна отношению размерностей отклика цепи и внешнего воздействия. В зависимости от того, какие величины (токи или напряжения) рассматриваются в качестве откликов внешних воздействий, КЧХ может иметь размерность сопротивления, проводимости быть безразмерной.

Модуль КЧХ равен отношению амплитуд или действующих значений отклика цепи и внешнего воздействия, а ее аргумент представляет собой разность начальных фаз воздействия.

Если >, КЧХ определяется выражением

(12.2)

следовательно, КЧХ цепи численно равна комплексной амплитуде реакции на внешнее воздействие с единичной амплитудой и нулевой начальной фазой.

Зависимости модуля Нkv () и аргумента kv комплексной частотной характеристики от частоты называются амплитудно-частотной (АЧХ) фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками цепи.

При графическом представлении комплексных частотных характеристик цепи обычно строят отдельно АЧХ и ФЧХ.

Комплексную частотную характеристику можно изобразить и в виде одной зависимости — годографа КЧХ, построенного на комплексной плоскости. Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место концов вектора Hkv(j), соответствующих изменению частоты от = 0 до>. На годографе указываются точки, соответствующим некоторым значением частоты , и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора Hkv(j) при увеличении частоты. Как видно из рисунка, годограф КЧХ позволяет одновременно судить об АЧХ и ФЧХ. Годограф КЧХ называют амплитудно - фазовой характеристикой (АФХ) цепи.

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные передаточные. Когда отклик и внешнее воздействие рассматриваются одних тех же зажимах цепи, КЧХ называется входной . Если отклик и внешнее воздействие задаются на разных зажимах цепи, КЧХ называется передаточной. Различают два вида входных и четыре вида передаточных характеристик. Различные виды КЧХ сведены в таблицу 6.1.

Таблица 12.1.

Виды комплексных частотных характеристик

Тип

Наименование

КЧХ

Воздействие

Реакция

входные

входное сопротивление

Zvv

входная проводимость

Yvv

передаточные

коэффициент передачи по напряжению

Kkv

коэффициент передачи по току

Gkv

передаточное сопротивление

Zkv

передаточная проводимость

Ykv

КЧХ линейных цепей не зависят от амплитуды и начальной фазы внешнего воздействия, а определяются структурой цепи параметрами входящих в нее элементов. Знание КЧХ позволяет определить реакцию на заданное гармоническое воздействие.

Характеристики несинусоидальных функций

Периодическую несинусоидальную  функцию характеризуют: мгновенным значением a=f(t), максимальным Amax, средним по модулю Aср = |f(t)|dt и действующим или средним квадратичным за период A = ; а также коэффициентами

- формы Кф = А/Аср (для sin - 1,11 ),

- амплитуды Ка = Amax/A (для sin -  ),

- искажения Ки = А(1)/А (для sin  - 1).

Наиболее важной характеристикой является действующее значение.

  A2=a2(t)dt, где a2(t) = [A0 + A1m sin (wt+ Y1) + A2m sin (2wt+ Y2) + … ]2 =

  = A +  + 2.

Интеграл от слагаемых последней суммы, выводится в математике, за период даёт нуль, а остальное представляет собой сумму квадратов действующих значений по всем гармоникам, включая нулевую, так что: A =

Таким образом, действующее значение несинусоидальной функции равно квадратному корню из суммы квадратов действующих значений всех гармоник, включая нулевую, причём это не зависит от начальных фаз гармонических составляющих.

Еще раз следует подчеркнуть, что принцип наложения применим лишь к линейным электрическим цепям. Более того, он может быть положен в основу определения линейной электрической цепи, а именно: если в некоторой электрической цепи реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности, то такая цепь называется линейной. Принцип наложения лежит в основе ряда эффективных расчетных методов теории линейных электрических цепей.


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.