Основы теории цепей

Стоячая электромагнитная волна не переносит энергию от источника к приёмнику, хотя на каждом участке имеется энергия, запасённая в электрическом и магнитном полях линии. С течением времени наблюдается периодический процесс перехода энергии из одного вида в другой. Пучности стоячей волны напряжения имеют место в тех точках линии, в которых амплитуда мгновенных значений напряжения наибольшая, а узлы – в тех точках, где мгновенное значение напряжения равно 0 в любой момент времени. Аналогично для стоячей волны тока.

Эквивалентные преобразования участков цепей со связанными индуктивностями

Рассмотрим эквивалентные преобразования участков цепей, содержащих связанные индуктивности. В частности, покажем возможность замены их участками, не содержащими связанных индуктивностей.

Последовательное соединение связанных индуктивностей

При последовательном соединении связанных индуктивностей (рис. 11.1.) их токи равны, а напряжение на входе рассматриваемого участка цепи есть сумма напряжений каждой из индуктивности

u = u1 + u2.

Используя компонентные уравнения связанных индуктивностей (10.10), определяем зависимость между током и напряжением на зажимах рассматриваемого участка цепи:

 (11.2)

 

Рис. 11.1. Последовательное соединение связанных индуктивностей

Используя компонентные уравнения связанных индуктивностей (10.10), определяем зависимость между током и напряжением на зажимах рассматриваемого участка цепи:

 (11.2)

Таким образом, участок цепи, содержащий последовательно включенные связанные индуктивности, может быть заменен эквивалентной индуктивностью Lэ:

Lэ = L1 + L2 2M при согласном включении катушек и

Lэ = L1 + L2 - 2M при встречном включении катушек.

Параллельное соединение связанных индуктивностей

При параллельном соединении связанных индуктивностей (рис. 11.2.) к их зажимам прикладывается одинаковое напряжение, а входной ток рассматриваемого участка цепи складывается из токов обеих индуктивностей:

i = i1 + i2.

 

Рис. 11.2. Последовательное соединение связанных индуктивностей

Используя компонентные уравнения связанных индуктивностей (10.10), составляем систему уравнений:

Из решения системы находим зависимость между напряжением и током на зажимах рассматриваемого участка цепи:

 (11.3)

Следовательно, участок цепи, представляющий собой две параллельно включенные связанные индуктивности, обладает эквивалентной индуктивностью

Знак минус соответствует согласному включению, а знак плюс — встречному.

Биение. Модулированные колебания.

Биениями называют колебательный процесс, возникающий в результате сложения двух синусоид с равными амплитудами и близкими, но не равными частотами. Процессы типа биения используются, например, в измерительной технике для того, чтобы установить, что сравниваемые сигналы имеют неодинаковую частоту.

Известно, что синусоиду можно характеризовать амплитудой Аm, угловой частотой w и начальной фазой Y. Для заданной синусоиды они постоянны, от времени не зависят.

Но для передачи различной информации (сигналы управления, речь, музыка) применяются генераторы, в которых одна из этих величин медленно изменяется во времени по заданному закону. Такое явление носит называние модуляции. Различают амплитудную, фазовую и частотную модуляции.

Колебания типа биений и модулированные колебания являются разновидностью несинусоидальных функций, к ним применима вся изложенная методика расчёта цепей несинусоидального тока.

ПРИМЕР 3

 


Дано:

I = 2 A;

R1 = 80 Ом;

R2 = 220 Ом;

L = 1 Гн;

С = 100 мкФ

Найти:

i1(t)

Классический метод расчета.

            1) Система уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации:

           

Сначала определим uс.

2) Независимые начальные условия.

            uc(0+) и i2(0+).

До коммутации источник тока был замкнут и токи в параллельные ветви не поступали.

До коммутации

            uc(0-) = 0 и i2(0-) = 0.

Согласно законам коммутации:

            uc(0-) =  uc(0+) = 0;

            i2(0-) =  i2(0+) = 0.

            3) Расчет принужденного режима.

Принужденный (установившийся) режим при постоянном источнике будет соответствовать схеме:

i1пр = 0.

i2пр = i1пр = I.

.

           

            4) Определение корней характеристического уравнения.

Для определения корней изобразим схему:

Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва:

           

Приравниваем его к нулю:

           

Решаем:

           

Подставим числовые значения:

100·10-6·1р2+(80+220) ·100·10-6+1=0.

10-4р2+3·10-2р+1=0.

р1,2=-150±.

р1=-261,8 1/с;          р2=-38,2 1/с.

Корни характеристического уравнения вещественные и различные, следовательно, переходный процесс будет апериодическим.

Свободная составляющая напряжения uc cв будет иметь вид:

.

            5) Полное напряжение:

            .

            6) Определение постоянных интегрирования А1 и А2.

Первое уравнение для определения А1 и А2 получаем, используя значения п.2. Для этого выразим:

                       

            Учтем независимые начальные условия:

                        440+А1+А2 = 0.                                                                                                              (1)

Для получения второго уравнения запишем систему уравнений п.1 в момент времени t = 0+:

           

Подставим в неё независимые начальные условия:

           

Отсюда:

           

Теперь продифференцируем выражение uc, полученное в п.5:

           

Выразим его для t = 0+:

           

Учтем, что  и получим второе уравнение для расчета А1 и А2:

            -261,8А1-38,2А2 = 20000.

Решаем систему уравнений:

           

Получаем:

            А1 = -14,27;

            А2 = -425,72.

Для напряжения uc получим окончательно:

            .

            7) По условию требуется определить ток i1.

            Воспользуемся последним уравнением системы из п.1.

Ответ:

Еще раз следует подчеркнуть, что принцип наложения применим лишь к линейным электрическим цепям. Более того, он может быть положен в основу определения линейной электрической цепи, а именно: если в некоторой электрической цепи реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности, то такая цепь называется линейной. Принцип наложения лежит в основе ряда эффективных расчетных методов теории линейных электрических цепей.


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.