Основы теории цепей

Стоячие электромагнитные волны в ЛБП Стоячие волны возникают в том случае, если приёмником энергии активная мощность не потребляется. Это происходит при ХХ, при КЗ или при чисто реактивной нагрузке. Стоячая волна образуется в результате наложения падающей и отражённой волн одинаковой интенсивности. Математически стоячая волна описывается функцией в виде произведения двух тригонометрических функций (sin или cos), одна из которых является функцией времени, а другая – функцией координат.

Метод узловых напряжений

Напряжения всех ветвей электрической цепи могут быть выражены через узловые напряжения этой цепи т.е. напряжения независимых узлов рассматриваемой цепи относительно базисного. Напряжение некоторой ветви, включенной между i-м и базисным узлами, равно узловому напряжению i-гo узла Ui0, взятого со знаком плюс или минус в зависимости от направления напряжения этой ветви, а напряжение ветви, включенной между i-м и j-м узлами (рис. 7.2), — разности узловых напряжений этих узлов Ui0-Uj0.

Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве независимых переменных используются неизвестные напряжения независимых узлов относительно базисного, называется методом узловых напряжений.

Рассмотрим метод формирования узловых уравнений на примере цепи, не содержащей источников напряжения (рис. 7.3). Данная цепь получена из цепи, схема которой изображена на рис. 7.1а, путем преобразования источников напряжения в источники тока и замены комплексных сопротивлений ветвей их комплексными проводимостями.

Рис. 7.3. К составлению уравнений электрического равновесия методом узловых напряжений.

Цепь имеет три независимых узла, для которых можно составить уравнения баланса токов:

Выразим неизвестные токи ветвей цепи через напряжения этих ветвей, а напряжения ветвей — через соответствующие узловые напряжения:

 

Подставляя выражения (7.9) в (7.8), получим систему уравнений для определения трех неизвестных узловых напряжений:

 

На практике узловые уравнения формируют не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия, поэтому применение этого метода позволяет упростить и составление, и решение уравнений электрического равновесия цепи.

В матричной форме система уравнений вида (7.10) запишется в следующем виде:

,

где Yij – матрица проводимостей узлов,

Ui0 – матрица напряжений узлов,

Ji0 – матрица узловых токов.

Для рассматриваемого примера

Сформулируем правила составления узловых уравнений.

Формирование Yij.

Собственная проводимость Yii i-гo узла - это сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к данному узлу. Для рассматриваемой цепи

Y11 = Y1+Y3+Y4; Y22 = Y4+Y5+Y6; Y33 = Y2+Y3+Y5.

Взаимная проводимость i-гo и j-го узлов — это сумма проводимостей всех ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятая с противоположным знаком. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные непосредственно между i-м и j-м узлами, то Yij = 0. Для цепи, схема которой приведена на рис. 7.3:

Y12 = Y21 = -Y4, Y23 = Y32 = -Y5, Y13 = Y31 = -Y3.

Для линейной электрической цепи состоящей только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников тока матрица узловых проводимостей квадратная и симметричная относительно главной диагонали.

Формирование Ui0.

Это матрица-столбец неизвестных напряжений узлов.

2. Формирование Ji0.

Узловым током Ji0 i-го узла называется алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к данному узлу. Если ток какого-либо источника тока направлен к i-му узлу, то он входит в Ji0 со знаком плюс, если ток направлен от i-го узла, то он входит в знаком минус. Для рассматриваемой цепи

Решая систему уравнений (7.10) любым из методов, можно найти все неизвестные узловые напряжения цепи цепи.

Например, выражение для напряжения k-го узла при использовании формулы Крамера:

где — определитель системы уравнений (3.10);

ij— алгебраическое дополнение элемента Yij этого определителя.

В аналогичной форме могут быть записаны выражения для напряжений всех остальных узлов.

Если цепь содержит независимые источники напряжения, то следует:

заменить источники напряжения независимыми источниками тока с помощью эквивалентных преобразований,

либо

составить систему узловых уравнений с учётом того, что не все узловые напряжения будут независимы: узловые напряжения двух узлов, между которыми включён источник напряжения, будут отличаться только на напряжение этого источника. Количество неизвестных узловых напряжений сокращается при этом на число независимых источников напряжения. Матрица контурных проводимостей в этом случае будет не квадратной: число столбцов будет равно числу независимых узлов, а число строк — числу неизвестных независимых узловых напряжений. Целесообразно, по возможности, выбирать в качестве базисного тот узел, к которому подключён источник напряжения.

Метод узловых напряжений применим для анализа цепей любой топологии. Нецелесообразно применять его для анализа цепей со связанными индуктивностями, так как существенно усложняется алгоритм формирования узловых уравнений.

Выводы

Активная мощность в нагрузке максимальна, если активная часть сопротивления нагрузки и источника равны, а реактивные части этих сопротивлений равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. В настоящее время существует большое количество методов анализа цепей при гармоническом воздействии, отличающихся способом формирования уравнений электрического равновесия и выбором основных переменных.

Методы контурных токов и узловых напряжений позволяют сократить число переменных в системе уравнений электрического равновесия по сравнению с методами токов и напряжений ветвей.

Наиболее просто формируются уравнения электрического равновесия методом узловых напряжений, однако непосредственное его применение имеет ряд ограничений.

Цепи с трансформаторами

Основные понятия

Трансформатор – это устройство из двух или более обмоток, помещённых на общем магнитном сердечнике. Обмотка и вся цепь, по которой подводится питание, называется первичной, а обмотка, к которой подключается нагрузка, называется вторичной.

Трансформаторы различают понижающие и повышающие.

Основное назначение трансформаторов – преобразование электрической энергии по напряжению и току. Это необходимо для передачи энергии на расстояние, для распределения и потребления. В автоматике же, измерениях трансформатор используется и для иных целей: для разделения силовых и искробезопасных цепей, для согласования каскадов усиления, для проведения измерений.

Если сердечник трансформатора выполнен из ферромагнитного материала, то это нелинейный элемент. Рассмотрим трансформатор без сердечника, так называемый воздушный трансформатор, описываемый линейными уравнениями.

 

5.6.2. Линейный трансформатор

Простейший трансформатор имеет две индуктивно связанные обмотки и в расчётных схемах представляется, как показано на рис. 5.10. Как видим, между первичной и вторичной цепями нет прямой электрической связи, поэтому трансформатор описывается уравнениями только по П закону Кирхгофа:

 R1 I1 + j x1 I1 - jwМ I2 = U1, (1)

 R2 I2 + j x2 I2 + Rн I2 + j xн I2 - jwМ I1 = 0.(2)

По этим уравнениям строят ВД. Её удобнее начать с вектора тока I2 (рис. 5.11).

Линейные электрические цепи и принцип наложения. Основы классификации электрических цепей

Колебания в электрической цепи представляют собой «реакции» или «отклики» на приложенные к ней «воздействия» (иногда «возмущения»). По отношению к электрическим цепям воздействия аналогичны внешним вынуждающим силам в механических системах.

Воздействия в электрических цепях характеризуются заданными законами изменения во времени некоторых напряжений и (или) токов, действующих в цепи. Токи и напряжения в электрической цепи, обусловленные некоторым воздействием, будем называть реакциями цепи на это воздействие. Различают цепи линейные и нелинейные.


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.