Основы теории цепей

В ЛРП имеют место следующие процессы, которые в схеме замещения учитываются следующими параметрами

- при протекании тока происходит нагрев проводов, при этом электрическая энергия превращается в тепловую – это учитывается параметром  R0 - активное сопротивление проводов, приходящееся на единицу длины, Ом/км;

- при протекании тока вокруг проводов возникает магнитное поле, что учитывается параметром L0 - индуктивность единичного участка линии, Гн/км;

- между проводами есть напряжение U и, следовательно, существует электрическое поле, которое порождает токи смещения между проводами, это явление учитывается параметром C0 - ёмкость единичного участка линии, Ф/км

Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей: токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей.

Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из р — рит — q + 1 уравнений, называемых контурными уравнениями.

 Рассмотрим методику формирования контурных уравнений на примере простой цепи, не содержащей источников тока, схема которой приведена на рис. 7.1, а.

Выбирая произвольно дерево графа этой цепи, убеждаемся, что токи ветвей дерева однозначно выражаются через токи главных ветвей. Контурный ток i-гo контура Iii равен току главной ветви, входящей в данный контур. Направление контурного тока во всех элементах контура совпадает с направлением его обхода, т. е. с направлением соответствующей главной ветви. Токи всех ветвей цепи могут быть выражены через контурные токи этой цепи. Например, для рассматриваемого примера

 

Таким образом, если определить токи главных ветвей, то, используя соотношения (3.5), можно найти токи остальных ветвей цепи, а затем найти неизвестные напряжения ветвей. Следовательно, для полного описания процессов в цепи достаточно определить только токи главных ветвей исследуемой цепи. Из соотношения (7.5) также следует, что максимальное количество токов ветвей, которые могут быть заданы независимо, не может превышать числа главных ветвей.

Для определения токов главных ветвей цепи (см. рис. 7.1) воспользуемся уравнениями, составленными на основании второго закона Кирхгофа, выразив входящие в них напряжения ветвей через токи главных ветвей. Подставляя (7.3), (7.5) в уравнение (7.2), получаем:

 

На практике контурные уравнения формируют не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия, поэтому применение этого метода позволяет упростить и составление, и решение уравнений электрического равновесия цепи.

В матричной форме система уравнений вида (7.6) запишется в следующем виде:

,

где Zij – матрица сопротивлений контуров,

Iii – матрица контурных токов,

Еii – матрица контурных ЭДС.

Для рассматриваемого примера


Сформулируем правила составления контурных уравнений.

1. Формирование Zij.

Собственным сопротивлением Zii i-гo контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур. В цепи (см. рис. 7.1, а) выделено три независимых контура (см. рис. 7.1, в—д), их собственные сопротивления:

Z11=Z1+Z4+Z6, Z22=Z2+Z5+Z6, Z33=Z1+Z2+Z3.

Взаимным, или общим, сопротивлением i-гo и j-го контуров называется сопротивление Zij, равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Взаимное сопротивление берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то взаимное сопротивление берут со знаком минус. Если рассматриваемые контуры не имеют общих ветвей, то их взаимное сопротивление равно нулю. Взаимные сопротивления контуров цепи (см. рис. 7.1):

Z12=Z21=Z6, Z13=Z31=Z1, Z23=Z32= - Z2.

Для линейных цепей, составленных только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения, матрица контурных сопротивлений квадратная и симметричная относительно главной диагонали.

2. Формирование Iii.

Это матрица-столбец неизвестных контурных токов.

3. Формирование Еii.

Контурная э. д. с. Еii i-гo контура – это алгебраическая сумма э. д. с. всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление э. д. с. какого-либо источника, входящего в i-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая э. д. с. входит в Eii со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Контурные э. д. с. рассматриваемой цепи:

Решая систему уравнений (7.6) любым из методов, можно найти все неизвестные контурные токи цепи.

Например, выражение для контурного тока kk-го контура при использовании формулы Крамера

 

где — определитель системы уравнений (7.6); ij— алгебраическое дополнение элемента Zij этого определителя. В аналогичной форме могут быть записаны выражения для контурных токов всех остальных контуров. На практике обычно используют более экономичные методы, такие, как метод исключения Гаусса.

При составлении контурных уравнений цепей, граф которых является планарным, в качестве независимых удобно выбирать контуры, соответствующие ячейкам графа.

Если электрическая цепь содержит независимые источники тока, то следует:

заменить источники тока независимыми источниками напряжения с помощью эквивалентных преобразований,

либо

выбрать дерево цепи таким образом, чтобы ветви с источниками тока вошли в состав главных ветвей. Количество неизвестных контурных токов сокращается при этом на число независимых источников тока. Матрица контурных сопротивлений в этом случае будет не квадратной: число столбцов будет равно числу независимых контуров, а число строк — числу неизвестных контурных токов.

Метод контурных токов можно использовать и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями, однако алгоритм формирования матрицы контурных сопротивлений при этом усложняется.

Представим граф некоторой схемы (рис.2.10) в виде таблицы. По горизонтали – У строк согласно числу узлов графа. По вертикали В столбцов по числу ветвей графа. Номер ячейки jк, где j – номер строки, к – номер столбца. В ячейку jк пишем  +1, если к-я ветвь соединена с j-ым узлом и направлена от узла (начало ветви), и -1, если к узлу (конец ветви), 0 – если к-я ветвь не соединена с j-ым узлом. (См. таблицу 2.1). 

 

 

1

0

1

0

0

-1

-1

1

0

-1

0

0

0

0

-1

1

-1

0

0

-1

0

0

1

1

Особенности таблицы: в столбце только две ненулевые ячейки - +1 и -1; сумма чисел каждого столбца равна нулю. Поэтому можно заполнить лишь У-1 строк, так как У-ю строку можно восстановить. Таблице, имеющей У-1 строк придаём смысл матрицы, называемой матрицей соединений. Обозначается А:

 

А= ajk  =  

Первый закон Кирхгофа в матричной форме А =0.

Так как для любой ветви  = I + J, то A  = A I + A J=0 или A I = - A J .

Матрицу соединений можно представить в виде двух подматриц (блоков):

 

 1 … у-1 у … в

 1

 А = А 1 А2 …

 У-1

 (у-1)(у-1) (у-1)n

n = В – У+1 - количество ветвей связи.

Для независимых контуров (их количество n=В-(У-1)) составляется матрица контуров.

Строки соответствуют ветвям связи, а столбцы – ветвям графа. Элементы матрицы равны 0, +1, -1, если при обходе контура, образованного ветвью связи и ветвями дерева, вдоль ветви связи ветвь соответственно не входит в контур, входит согласно обходу, входит против обхода. Обозначается В.


= bjk =  

Второй закон Кирхгофа в матричной форме В =0.

Так как для любой ветви  = U – E, то B  = B U - B E =0 или B U = B E.

Матрица B в виде двух блоков:

 1 … у-1 у…в

 у

 B = В1 В2 … = В 1

 В

  n (у-1) n n

1– единичная матрица.

Токи и напряжения также представим двумя столбцовыми блоками:

 1 1

 … 1 (у-1) 1 … 1  (у-1) 1

 у-1 у-1

  =  =

 У у

 … 2 n 1 … 2  n 1 

 в в

 

А   = А1 А2 1 = A1 1 + A2 2 = 0,

 2

 

B   = B1 B2 1 = B1 1 + B2 2 = 0.

 2

Первый закон Кирхгофа может быть сформулирован для сечений. Главное сечение разрезает ветвь дерева и ветви связи. В матрице сечений строки – главные сечения (ветви дерева), столбцы – ветви графа. Значения ячеек:

-  0 - если ветвь в сечение не входит;

- +1 – ветвь разрезается и направлена к поверхности согласно данной ветви дерева;

- -1 - ветвь разрезается и направлена к поверхности против данной ветви дерева.

Обозначается D.

 

Первый закон Кирхгофа D  = 0.

D = D I + D J = 0 или D I = - D J .

 1 … у-1 у … в

 1

 D = D 1 D2 … D1 = 1 D = 1 D2

 У-1

 (у-1)(у-1) (у-1)n

 

 D = D1 1 + D2 2 = 0 .

Можно заметить, что  B1 = - D или D2 = - B.

Поэтому вводят обозначение B1 = F.

Тогда  B = F 1 , D = 1 - Ft

 A1 1 = - A2 2 и D1 1 = - D2 2.

Но D1 = 1, поэтому 1 = - D2 2.

Подматрица A1 является квадратной. Поэтому, если определитель её не равен нулю, то она имеет обратную матрицу A .

A A1 1 = 1 1 = 1 = - A A2 2 = - D2 2,

то есть D2 = A A2 , откуда также следует, что - Ft = A A2.

Таким образом, по матрице соединений можно составлять матрицы контуров и сечений, что важно при пользовании ВТ.

Напряжения и токи связаны между собой через сопротивления и проводимости. Их матрицы обозначаются Z и Y.

 

Z =  = diag (Z1, Z2, … Zв);

 

 

Y =  = diag (Y1, Y2, … Yв); Z = Y-1 ; Y = Z-1 . 

Для необобщённых U и I U = Z I или I = Z-1 U = Y U.

Можно получить систему уравнений по законам Кирхгофа:

A I = - A J или D I = - D J У-1 уравнений по 1 закону Кирхгофа;

B U = B Z I = B E В-(У-1) уравнений по 2 закону Кирхгофа.

Получается система из В уравнений для искомых В токов – система уравнений цепи в матричной форме.

Примечание. Для получения динамических уравнений вместо U = Z I – закона Ома используются уравнения связи между током  к-ой ветви и напряжением на элементах этой ветви.

Метод контурных токов

Уравнение  1 = - D2 2 физически означает, что токи ветвей дерева могут быть определены через токи ветвей связи, которые можно назвать контурными, так как каждая ветвь связи образует независимый контур.

 1 - D2 2 - D2 Ft

  = = = 2 = 2 .

 2 2 1 1

 

 Ft

B = F 1 , следовательно,  Bt = 

 1

 = Bt 2  ()

 

B U = B E; B U = B Z I = B Z (– J) = B Z  - B Z J = B E

 B Z = B (E + Z J).

С учётом () B Z Bt 2= B (E + Z J) (

B Z Bt - квадратная матрица контурных сопротивлений порядка n n :

 

 

 

B Z Bt =

 

Z11 Z12 … Z1n

Z21 Z22  … Z2n

 . . . . . . . . . 

Zn1 Zn2 … Znn

Вектор контурных ЭДС :

 

 

 

B(E+ZJ) =

E11

E22

 .

  .

 .

Enn

Из () определяют контурные токи : 2 = (B Z Bt)-1 B (E + Z J) ,

а затем по () – токи в ветвях.

В этом заключается метод контурных токов.

Падением напряжения на участке цепи называют напряжение, действующее на соответствующем участке при протекании по нему тока.

Изменение во времени физических величин, какими являются напряжения и токи в электрических цепях, условимся называть колебаниями соответствующих величин. При этом колебания могут происходить как с изменением, так и без изменения знака колеблющейся величины. Если значения всех напряжений и токов в цепи равно нулю, то говорят, что цепь находится в состоянии (режиме) покоя. В технике передачи информации колебания напряжений и токов, являющиеся материальными носителями информации, принято называть электрическими сигналами, или просто сигналами.


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.