Основы теории цепей

Метод расчёта по первым гармоникам токов и напряжений (метод гармонического баланса)

Основа метода – разложение несинусоидальных величин на гармонические составляющие и анализ уравнений лишь для основной гармоники. Могут использоваться как амплитудные, так и действующие значения основной гармоники. Метод целесообразно применять при расчете цепей с инерционным нелинейным элементом. В этом случае зависимость между мгновенными значениями напряжения и тока линейна, а между действующими – нет. Так как в расчёт берётся только основная гармоника, то могут быть построены векторные диаграммы и использована комплексная форма записи. Рассмотрим применение метода в графическом варианте на примере (рис. 12.28). Здесь Z = Z ejj  - комплекс некоторого линейного сопротивления, причём j>0; НЭ – нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого задана.

Баланс мощностей

Рассмотрим произвольную электрическую цепь, содержащую  идеальных источников напряжения,  идеальных источников тока и  идеализированных пассивных элементов. Пусть ,  - ток и напряжение -го элемента цепи. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени равна нулю:

 . (6.12)

Группируя члены, соответствующие идеализированным активным () и идеализированным пассивным () элементам, уравнение (6.12) можно преобразовать к виду

  . (6.13)

Уравнение (6.13) называют уравнением (условием) баланса мгновенных мощностей. Принимая во внимание, что мгновенная мощность любого элемента характеризует скорость потребления энергии этим элементом (потребляемая мощность), а мгновенная мощность, взятая со знаком минус, характеризует скорость отдачи энергии этим элементом (отдаваемая мощность), условие баланса мгновенных мощностей может быть сформулировано следующим образом: сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии (необходимо иметь в виду, что потребляется и отдается не мощность, а электрическая энергия).

Можно показать, что условие, аналогичное (6.13), выполняется и для комплексных мощностей всех элементов:

 . (6.14)

Уравнение (6.14) называется уравнением (условием) баланса комплексных мощностей. Таким образом, сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов.

Для практических расчётов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующей форме

  . (6.15)


Левая часть выражения (6.15) представляет собой алгебраическую сумму комплексных мощностей, отдаваемых всеми активными элементами. Слагаемое вида  есть произведение комплексного действующего значения
э. д. с. источника напряжения на комплексно сопряженный ток этого источника; слагаемое вида  равно произведению комплексного напряжения на источнике, тока на комплексно сопряженный ток этого источника. Слагаемые, состоящие в левой части выражения (6.15), берут со знаком плюс, если направления токов и напряжений источников выбраны в соответствии с рис. 6.2. В противном случае соответствующие слагаемые берут со знаком минус. Правая часть уравнения (6.15) есть сумма комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида  равно произведению квадрата действующего значения тока -го идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление.

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей: активная мощность, отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности всех потребителей:

 ;

реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей:

 ,

где  и  - вещественная и мнимая составляющие комплексного сопротивления -го элемента.

Метод контурных токов (МКТ)

Относится к основным расчётным методам. Базируется на втором законе Кирхгофа. Сущность метода в том, что сначала по числу независимых контуров вводят так называемые контурные токи, для определения которых достаточно уравнений лишь по второму закону Кирхгофа, а затем через контурные токи по принципу наложения записывают искомые токи ветвей. В качестве контурного можно принимать ток ветви, придающей независимость контуру. И наоборот, если в какой-то ветви ток известен и принят в качестве контурного (например, ток источника тока), то эту ветвь уже нельзя включать в другие контуры.

Порядок расчёта рассмотрим на примере (рис. 2.5).

Анализ цепи: В=5, У=3, Вт =1, Во =1.

 NМКТ = В-(У-1)-Вт = 5-(3-1)-1=2.

Определяем число независимых контуров в цепи: Nконт = В-(У-1)=3.

Вводим контурные токи II, III, IIII. Направление произвольное.

Если в схеме есть ветви с известными токами, их принимают в качестве контурных.

3. Для контуров с неизвестными контурными токами составляем уравнения по П закону Кирхгофа. Форма уравнений в общем случае следующая:

R11 II ± R12 III ± R13 IIII ±± R1n In = E11 ,

± R21 II + R22 III ± R23 IIII ±± R2n In = E22 ,

. . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . .

± Rn1 II ± Rn2 III ± Rn3 IIII ± … + Rnn In = Enn ,

где Rii - собственное сопротивление i-ого контура – сумма сопротивлений ветвей, входящих в этот контур;

 Rij - взаимное сопротивление i-ого и j-ого контуров – их общее сопротивление. Берётся с “+”, если i-ый и j-ый контурные токи в этом сопротивлении направлены одинаково, и с “-“, если – в противоположные стороны.

 Еii - алгебраическая сумма ЭДС источников ЭДС, входящих в i-ый контур. ЭДС берётся с  “+”, если её направление совпадает с обходом контура, и с “-”, если нет.

В данном случае

(R2 + R3) II + (R2 + R3) III + R2 IIII = E1 – E2 ;

(R2 + R3) II + (R2 + R3 + R4) III + R2 IIII = – E2 ;

IIII = J .

4. Решая систему, определяем контурные токи.

5. Принимаем положительные направления токов в ветвях и определяем их через контурные токи по принципу наложения:

  I1 = II, I2 = -II – III – IIII, I3 = - II – III, I4 = - III.

Проверка правильности решения – по второму закону Кирхгофа, составлением БМ или другим методом.

Падением напряжения на участке цепи называют напряжение, действующее на соответствующем участке при протекании по нему тока.

Изменение во времени физических величин, какими являются напряжения и токи в электрических цепях, условимся называть колебаниями соответствующих величин. При этом колебания могут происходить как с изменением, так и без изменения знака колеблющейся величины. Если значения всех напряжений и токов в цепи равно нулю, то говорят, что цепь находится в состоянии (режиме) покоя. В технике передачи информации колебания напряжений и токов, являющиеся материальными носителями информации, принято называть электрическими сигналами, или просто сигналами.


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.