Основы теории цепей

В ЛРП имеют место следующие процессы, которые в схеме замещения учитываются следующими параметрами

- при протекании тока происходит нагрев проводов, при этом электрическая энергия превращается в тепловую – это учитывается параметром  R0 - активное сопротивление проводов, приходящееся на единицу длины, Ом/км;

- при протекании тока вокруг проводов возникает магнитное поле, что учитывается параметром L0 - индуктивность единичного участка линии, Гн/км;

- между проводами есть напряжение U и, следовательно, существует электрическое поле, которое порождает токи смещения между проводами, это явление учитывается параметром C0 - ёмкость единичного участка линии, Ф/км

Последовательная RLC-цепь

Рассмотрим последовательную RLC-цепь (рис. 5.2, а), находящуюся под гармоническим воздействием, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 5.2, б. Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесии цепи

 ;

 ; (5.12)

 .

где ; ;  - комплексные сопротивления входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему (5.12) относительно тока , получаем

 . (5.13)

Здесь  - комплексное входное сопротивление последовательной RLC-цепи, равное сумме комплексных сопротивлений входящих в цепь элементов, которое определяется только параметрами входящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия:

. (5.14)

 

Переходя от алгебраической формы записи  к показательной, находим модуль и аргумент комплексного входного сопротивления:

 

; (5.15)

Из выражения (5.15) следует, что характер входного сопротивления цепи зависит от соотношения между мнимыми составляющими комплексного входного сопротивления ёмкости  и индуктивности . При  входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивный характер (). Векторная диаграмма, построенная на основании выражения (5.15) и иллюстрирующая данный случай, представлена на
рис. 5.2, г (для большей наглядности векторы  и  изображены немного смещенными один относительно другого). Если , то входное сопротивление цепи имеет резистивно-емкостной характер () (рис. 5.2, д). При  мнимые составляющие входного сопротивления емкости  и индуктивности  взаимно компенсируются и входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер () (рис. 5.2, е).

Подпись:
Используя уравнение (5.13), можно по известному напряжению,

приложенному к внешним зажимам цепи, найти ток и наоборот (рис.2.15).

Падение напряжения на сопротивлении , совпадает по направлению с током ; напряжение  сдвинуто по фазе относительно   на  (опережает ток); напряжение  отстает по фазе от тока на и направлено в противоположную сторону . При  сумма  совпадает по направлению с вектором , ток цепи отстает по фазе от напряжения ().


При  сумма  совпадает по направлению с вектором , ток цепи опережает по фазе напряжение () Если  , то сумма , напряжение на зажимах цепи  равно напряжению на сопротивлении , ток цепи совпадает по фазе с приложенным напряжением ().

Выводы

Метод комплексных амплитуд позволяет определять реакцию цепи на гармоническое воздействие не прибегая к составлению и решению дифференциального уравнения цепи. Для анализа достаточно использовать алгебраические уравнения, составленные на основе законов Ома и Кирхгофа, неизвестными величинами являются комплексные амплитуды искомых токов и напряжений.

В последовательной RL-цепи величина протекающего тока зависит от модуля полного сопротивления, которое определяется параметрами элементов и частотой воздействия. С ростом частоты увеличивается влияние индуктивности на полное сопротивление. Ток в цепи отстаёт от напряжения, причём тем больше, чем больше частота воздействия, и в пределе разность фаз стремится к /2.

В последовательной RLС-цепи величина протекающего тока зависит от модуля полного сопротивления, которое определяется параметрами элементов и частотой воздействия. На низких частотах преобладает влияние ёмкости, ток в цепи опережает по фазе приложенное напряжение. С ростом частоты увеличивается влияние индуктивности и уменьшается влияние ёмкости на полное сопротивление. Начиная с некоторой частоты 0 характер цепи становится резистивно-индуктивным. Ток в цепи отстаёт от напряжение, причём тем больше, чем больше частота воздействия, и в пределе разность фаз стремится к /2. Резистивная часть полного сопротивления от частоты не зависит.

Интересны резонансные явления в следующей цепи (рис. 4.8). Резонанс наступает, если

b = b1 – b2 = 0 /1/,

где b1 =  - проводимость ветви с индуктивностью,

b2 =   - проводимость ветви с ёмкостью.

Векторная диаграмма приведена на рис. 4.9.

Решив уравнение /1/ относительно угловой частоты, получим

.

Резонанс возможен, если R1 и R2 оба больше или меньше r, иначе подкоренное выражение будет отрицательным. При R1=R2¹r резонансная частота будет такой же, как и в последовательном контуре. При R1=R2=r  резонансная частота w0 = 0/0 имеет любое значение, то есть резонанс наблюдается на любой частоте. Это так называемый безразличный резонанс.

В общем случае при R1¹0 и R2¹0 входная проводимость отлична от нуля при любой частоте, поэтому ток I ни при одном значении частоты не равен нулю. Анализ показывает, что при условии R1<r и R2<r  зависимость I = f(w) при U = const имеет минимум, причём при частоте, отличающейся от резонансной. Это видно на рис. 4.10. Кривая 1 отражает случай R1>r и R2>r, а кривая 2 - R1<r и R2<r, причем R2<R1.

Что же касается резонанса в сложных цепях, то условия фазового резонанса b = 0 или x = 0 для разветвлённой цепи с несколькими индуктивностями и конденсаторами дают для частоты w уравнения, которые могут иметь несколько действительных корней. Другими словами, у разветвлённой цепи может быть несколько резонансных частот.

Падением напряжения на участке цепи называют напряжение, действующее на соответствующем участке при протекании по нему тока.

Изменение во времени физических величин, какими являются напряжения и токи в электрических цепях, условимся называть колебаниями соответствующих величин. При этом колебания могут происходить как с изменением, так и без изменения знака колеблющейся величины. Если значения всех напряжений и токов в цепи равно нулю, то говорят, что цепь находится в состоянии (режиме) покоя. В технике передачи информации колебания напряжений и токов, являющиеся материальными носителями информации, принято называть электрическими сигналами, или просто сигналами.


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.