Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

В ЛРП имеют место следующие процессы, которые в схеме замещения учитываются следующими параметрами

- при протекании тока происходит нагрев проводов, при этом электрическая энергия превращается в тепловую – это учитывается параметром  R0 - активное сопротивление проводов, приходящееся на единицу длины, Ом/км;

- при протекании тока вокруг проводов возникает магнитное поле, что учитывается параметром L0 - индуктивность единичного участка линии, Гн/км;

- между проводами есть напряжение U и, следовательно, существует электрическое поле, которое порождает токи смещения между проводами, это явление учитывается параметром C0 - ёмкость единичного участка линии, Ф/км

Выводы

Для линейных пассивных элементов при гармоническом воздействии (токе, напряжении) реакция (напряжение, ток) будет гармонической функцией той же частоты.

Ток и напряжение на сопротивлении изменяются синфазно, сопротивление при этом является коэффициентом пропорциональности. Мгновенная мощность сопротивления всегда неотрицательна. Комплексное сопротивление сопротивления равно R.

На ёмкости ток опережает напряжение на /2. Мгновенная мощность знакопеременна, т.е. половину периода ёмкость накапливает энергию, половину – отдаёт в цепь. Энергия ёмкости всегда неотрицательна. Комплексное сопротивление ёмкости – величина мнимая, уменьшается с ростом частоты.

На индуктивности ток отстаёт от напряжения на /2. Мгновенная мощность знакопеременна, т.е. половину периода индуктивность накапливает энергию, половину – отдаёт в цепь. Энергия индуктивности всегда неотрицательна. Комплексное сопротивление индуктивности – величина мнимая, увеличивается с ростом частоты.

Лекция 5. Анализ простых цепей методом комплексных амплитуд

Анализ последовательной RL-цепи методом комплексных амплитуд.

Анализ последовательной RLC-цепи методом комплексных амплитуд.

Цели изучения модуля

Определение тока в последовательной RL-цепи при воздействии гармонического напряжения

Определение тока и напряжений на элементах последовательной RLC-цепи при различных частотах воздействия.

5.1. Последовательная RL-цепь

Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления  и индуктивности  (рис. 5.1, а). Пусть напряжение , приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется по гармоническому закону

 

где , ,  – заданные величины. Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока  в цепи.

Искомый ток  является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное, напряжение.

 

где ,  – неизвестные действующее значение и начальная фаза тока .

Представляя сопротивление и емкость комплексными схемами замещения и, переходя от тока  и напряжения  к их комплексным изображениям


, (5.2)

получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 5.1, б). Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи

 ; (5.3)

 ; (5.4)

 ; (5.5)

 . (5.6)

Здесь  и  - комплексные сопротивления входящих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов. Величины ,  и  заданы.

Подставляя (5.4) – (5.6) в уравнение (5.3), находим соотношение, связывающее комплексные изображения искомого тока и заданного напряжения:

  (5.7)

Выражение (5.7) представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем  есть комплексное входное сопротивление этого участка цепи. Выражению (5.7) можно поставить в соответствие, комплексную схему замещения цепи (рис. 5.1, в). Таким образом, комплексное входное сопротивление цепи, состоящей из последовательно включенных сопротивления   и индуктивности , равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов. В дальнейшем убедимся, что аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, представляющего собой последовательное соединение произвольного количества идеализированных двухполюсных элементов.

Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора Z, равного геометрической сумме векторов  и   (рис. 5.1, г). Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, модулю комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи

 , (5.8)

а угол наклона к положительной вещественной полуоси – его аргументу

 . (5.9)

Отметим, что при конечных значениях ,  и  угол  лежит в пределах

 . (5.10)

Когда аргумент комплексного входного сопротивления  какого-либо двухполюсника равен нулю, то говорят, что его входные сопротивление и проводимость имеют чисто резистивный (вещественный) характер, когда  - чисто реактивный (мнимый) характер. Если аргумент комплексного входного сопротивления двухполюсника равен , то его входные сопротивление и проводимость имеют индуктивный характер, если  - емкостной. В рассматриваемом случае значение, аргумента  определяется соотношением (5.9), поэтому входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивный характер.

Используя (5.7), найдем комплексное действующее значение ис­комого тока

 , (5.11)

где  и  определяются соотношениями (5.8) и (5.9). Из выражений (5.7) и (5.11) можно определить действующее значение и начальную фазу тока:

 .

Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно поучаем

В связи с тем, что при заданной частоте внешнего воздействия   установившиеся значения токов и напряжений цепи полностью определяются их действующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не возникает необходимости находить оригиналы токов и напряжений. Задача анализа цепи считается решенной, если найдены комплексные действующие значения соответствующих функций.

Векторные диаграммы для тока и напряжений RL-цепи приведены на рис. 5.11, д. Так как напряжение, на сопротивлении совпадает по фазе с током, вектор  совпадает по направлению с вектором , вектор  повернут относительно вектора  на угол  против часовой стрелки (напряжение на индуктивности по фазе опережает ток). Независимо от начальной фазы напряжения  вектор  повернут относительно вектора  по часовой стрелке на угол , т. е. ток отстает по фазе от напряжения на угол , равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Отметим также, что так называемый треугольник напряжений, образованный векторами ,  и  (рис. 5.11, д), подобен треугольнику сопротивлений (рис 2.13, г), образованному векторами ,  и .

Из векторной диаграммы видно, что действующие значения напряжения на входе цепи , напряжения на сопротивлении  и напряжения на индуктивности , которые определяют длину сторон треугольника напряжении, связаны соотношением

 ,

т. е. действующее значение напряжения на входе цепи не равно алгебраической сумме, действующих значений напряжений на элементах цепи.

Индуктивное и ёмкостное сопротивления при резонансе w0L = 1/(w0C) =  - характеристическое сопротивление цепи.

Отношение UL/U = UC/U =rI/(RI) =r/R = Q называется добротностью контура.

Ток в цепи

I = U/Z = .

Очевидно, что ток максимален при w = w0 - при резонансе. Полное же сопротивление цепи Z = =R минимально и равно активному сопротивлению цепи. Поэтому ток по фазе совпадает с входным напряжением: j = 0, cos j = 1.

xL и xC зависят от частоты, поэтому укажем частотные характеристики  цепи (х, хL, хC (w)) (рис. 4.3). Графические изображения зависимостей j(w), I(w), UL(w), UC(w) называются резонансными кривыми. Они приведены на рис. 4.4.

Резонанса можно достичь, изменяя одно из реактивных сопротивлений, например, L (рис. 4.5). На рис. 4.5а показаны кривые для случая, когда при резонансе Q<1, а на рис. 4.5б – Q>1. В случае Q>1 значение L’ , соответствующее максимуму UL, определяется по формуле L’=.

Теперь рассмотрим резонанс в параллельном контуре (рис. 3.11). Резонанс наступает, если b = bL –bC = 0, но 

bL =  ; bC = wC;

тогда   = w0 C и w0 = 1/ - та же формула, что и при резонансе напряжений.

Векторная диаграмма с учётом равенства IL = IC (равны проводимости) и противоположного их направления имеет вид рис. 4.6.

Полная проводимость цепи Y = = g =  минимальна при резонансе и имеет чисто активный характер, поэтому и ток I = U Y при резонансе минимален, а по фазе совпадает с напряжением. Реактивные составляющие токов равны по величине и противоположны по фазе: IL = U bL = U bC = IC.

Токи в реактивных элементах могут быть значительно больше входного тока в цепи. Это зависит от соотношения проводимостей. Резонанс называется резонансом токов. Частотные характеристики имеют вид рис. 4.7.

Падением напряжения на участке цепи называют напряжение, действующее на соответствующем участке при протекании по нему тока.

Изменение во времени физических величин, какими являются напряжения и токи в электрических цепях, условимся называть колебаниями соответствующих величин. При этом колебания могут происходить как с изменением, так и без изменения знака колеблющейся величины. Если значения всех напряжений и токов в цепи равно нулю, то говорят, что цепь находится в состоянии (режиме) покоя. В технике передачи информации колебания напряжений и токов, являющиеся материальными носителями информации, принято называть электрическими сигналами, или просто сигналами.


Инженерная графика

 

Начертательная геометрия
Теория цепей
Сопромат
Лабораторные работы
Электротехника
Математика