Основы теории цепей

ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ЛРП, ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)

Длинными называются такие линии, у которых при переходе от одной точки к другой напряжение и ток непрерывно изменяются. Другими словами, мгновенные значения напряжения и тока зависят не только от времени t, но и от координаты x.

К линиям с распределёнными параметрами (ЛРП) относятся  ЛЭП при напряжениях св. 35 кВ и длине более 50 км, линии связи, антенно-фидерные устройства по канализации энергии высокой частоты. При высоких частотах даже обычная катушка описывается теорией цепей с распределёнными параметрами.

Режим гармонических колебаний в линейных цепях. Метод комплексных амплитуд

Гармонические колебания. Среднее, средневыпрямленное и действующее значения  гармонических токов и напряжений.

Метод комплексных амплитуд. Понятие о символических методах. Комплексные изображения гармонических функций времени. Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи. Комплексная схема замещения цепи. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Общая схема применения метода комплексных амплитуд

Цели изучения

Определение общего подхода к анализу линейных цепей при гармоническом воздействии

Рассмотрение метода комплексных амплитуд как наиболее удобного для анализа линейных цепей при гармоническом воздействии

3.1. Гармонические колебания

Определение гармонического колебания

Электромагнитные процессы в электрической цепи, при которых мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называются периодическими, для их количественного описания используются периодические функции времени. Наименьший промежуток времени T, по истечении которого наблюдаются повторения мгновенных значений периодических функций a(t) называется периодом:

a(t + T) = a(t).

Величина, обратная периоду, т.е. число периодов в единицу времени, называется частотой:

f = 1/T.

Частота имеет размерность 1/с, а единицей измерения частоты служит герц (Гц).

Преобладающим видом периодических процессов в электрических цепях являются гармонические колебания, которые описываются синусоидальными или косинусоидальными  функциями:

u(t) = Umcos(wt + j);

u(t) = Umsin(wt + y),

где Um – максимальное значение или амплитуда;

w - скорость изменения аргумента (угла), называемая угловой частотой; она равна произведению 2pf и измеряется в радианах в секунду (рад/с);

j и y - начальные фазы, определяемые смещением гармонических функций относительно начала координат при t = 0.

Поскольку обе записи гармонической функции являются эквивалентными при y = j + p/2, то при анализе электрических цепей используют одну. В настоящем конспекте будет использоваться косинусоидальная функция.

Гармонические колебания обладают важным свойством сохранять форму и частоту при преобразованиях в линейных цепях. Поэтому они используются при изучении и описании характеристик линейных цепей и систем.

Среднее, средневыпрямленное и действующее значения
гармонических токов и напряжений

Токи и напряжения цепи, изменяющиеся по гармоническому или другому периодическому закону, наряду с другими параметрами характеризуются средними за период, средневыпрямленными и действующими значениями.

Среднее значение периодической функции a(t) за период  определяется выражением

 (3.1)

Среднее значение гармонической функции за период равно нулю, так как площадь ограниченная положительной полуволной и осью времени, равно площади, ограниченной отрицательной полуволной осью абсцисс.

Средневыпрямленным значением периодического тока или напряжения называется среднее значение модуля соответствующей периодической функции a(t) за период:

 (3.2)

Средневыпрямленное значение гармонического тока или напряжения равно среднему значению соответствующей гармонической функции a(t) на положительном полупериоде.


Средневыпрямленное значение гармонического колебания равно
:

Aср.в=(p/2)Am=0,637Am. (3.3)

Действующим значением периодической функции a(t) называется среднеквадратичное значение этой функции за период 

(3.4)

Действующее значение A гармонической функции a(t) в раз меньше ее амплитуды:

. (3.5)

ИМПЕДАНСНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Как было указано выше, если в цепи отсутствуют реактивные элементы (это наблюдается в цепях постоянного тока, так как индуктивность постоянному току сопротивления не оказывает, а ёмкость представляет собой разрыв), динамические уравнения из дифференциальных превращаются в алгебраические. Задачу расчёта цепей с резисторами решают импедансные методы расчёта. Существуют способы сведения цепей синусоидального тока и цепей в переходных режимах к цепям импедансного типа. Они будут рассмотрены ниже. Сейчас же изучим импедансные методы на примере цепей постоянного тока.

При расчёте сложных электрических цепей обычно задана схема цепи, параметры источников и приёмников энергии. Требуется рассчитать токи во всех ветвях, напряжения и мощности элементов цепи. Расчёт следует начинать с анализа схемы цепи и выбора рационального метода расчёта. Рациональным считается метод с наименьшим количеством уравнений.

4. Указания к защите

4.1. Отчет по лабораторной работе должен содержать:

- схему исследуемой цепи;

- расчетные формулы и таблицы с результатами предварительного расчета и анализа на ПК;

- графики рассчитанных на ПК временных зависимостей ,  и  с указанием соответствующего режима и величины добротности контура Q;

- заполненные табл. 2.2 и 2.3;

- на комплексной плоскости показать расположение корней характеристического уравнения, рассчитанных согласно пп. 2.4, 2.5;

- выводы о влиянии величины емкости на добротность контура, период собственных колебаний, декремент затухания и длительность переходного процесса;

- графики напряжений.

4.2. Подготовиться к ответам на вопросы и решению типовых задач.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания возникают в последовательном колебательном контуре при ступенчатом воздействии, при отключении воздействия, при воздействии прямоугольного импульса?

2. Какие режимы собственных колебаний возможны в последовательном колебательном контуре, и чем они определяются?

3. Какие корни характеристического уравнения соответствуют каждому из этих режимов?

4. Какой физический смысл имеют вещественная и мнимая составляющие комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения?

5. Какими соотношениями связаны параметры RLC-контура для каждого режима?

6. Как рассчитать значения Скр, Lкр, Rкр?

7. Как должны измениться потери в контуре (значение емкости С, индуктивности L), чтобы критический режим перешел в апериодический? колебательный?

8. Может ли частота свободных колебаний ωсв в контуре RLС быть выше (равна, ниже) резонансной частоты ωо этого же контура?

9. Что понимают под начальными условиями для RLС-контура?

10. Как величина добротности контура влияет на режим собственных колебаний?

11. Как величина добротности влияет на период собственных (свободных) колебаний, декремент затухания и длительность переходного процесса?

Линейными называют такие электрические цепи, у которых реакция пропорциональна воздействию. Пусть воздействие в виде напряжения  вызывает в некотором произвольном выбранном устройстве цепи реакцию в виде, например, тока . Если воздействие изменилось пропорционально в k – раз, то реакция измениться также в k – раз. Линейными будут любые цепи, составленные из устройств, каждое их которых может рассматриваться как более простая линейная электрическая цепь. К числу линейных электрических цепей относятся многие важные устройства систем передачи и обработки информации, например, усилители и электрические фильтры разнообразного назначения, цепи для формирования и оптимальной обработки сигналов, корректирующие цепи и т. д. Линейные электрические цепи удовлетворяют принципу наложения (суперпозиции), согласно которому реакция линейной электрические цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности.


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.