Основы теории цепей

ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ЛРП, ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)

Длинными называются такие линии, у которых при переходе от одной точки к другой напряжение и ток непрерывно изменяются. Другими словами, мгновенные значения напряжения и тока зависят не только от времени t, но и от координаты x.

К линиям с распределёнными параметрами (ЛРП) относятся  ЛЭП при напряжениях св. 35 кВ и длине более 50 км, линии связи, антенно-фидерные устройства по канализации энергии высокой частоты. При высоких частотах даже обычная катушка описывается теорией цепей с распределёнными параметрами.

Уравнения электрического равновесия

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами. Если ко входам прикладывается внешнее воздействие, то на выходах наблюдается реакция.

В теории цепей решается две взаимообратные задачи.

1) задача анализа.

Исходные данные: воздействие, схема цепи, параметры всех элементов. Требуется определить реакцию цепи. В ряде случаев определяется не сама реакция, а отношение реакции цепи к воздействию. Такие отношения называются системными функциями (характеристиками) цепи. В зависимости от того, что является аргументом системной функции – частота или время, различают временные и частотные характеристики.

2) задача синтеза.

Исходные данные: воздействие на цепь и реакция цепи. Требуется определить структуру цепи и параметры элементов.

Анализ и синтез взаимосвязаны. Для того, чтобы проводить синтез цепей, необходимо владеть анализом.

Точность и корректность анализа во многом зависят от выбранных моделей элементов цепи. Цепь, составленная из моделей элементов, называется расчётной (моделирующей) цепью (в отличие от реальной). Далее в курсе будут рассматриваться расчётные электрические цепи, однако для краткости слово «расчётная» или «моделирующая» пропустим.

Математически задача анализа сводится к составлению и решению системы уравнений, в которой неизвестными являются токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Так как данная система описывает состояние цепи (токи и напряжения ветвей) в любой момент времени, то уравнения называются уравнениями электрического равновесия. Если все уравнения в системе первого порядка, то число независимых уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.

Для формирования уравнений электрического равновесия используются законы Кирхгофа и компонентные уравнения. На практике применяют методы, позволяющие упростить формирование уравнений электрического равновесия: методы контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния, методы, основанные на использовании теорем теории цепей.

Система уравнений электрического равновесия может быть преобразована в одно дифференциальное или алгебраическое уравнение относительно одного неизвестного тока или напряжения. Дифференциальное уравнение содержит информацию о характере процессов в цепи и является основой для классификации цепей. Тип дифференциального уравнения определяется топологией цепи и характером входящих в неё элементов.

Классификация электрических цепей

Электрические цепи могут быть классифицированы по ряду признаков

по топологическим особенностям: планарные – непланарные (плоские –объёмные), разветвлённые – неразветвлённые, простые – сложные и т.д.

по энергетическим свойствам: активные – пассивные,

по числу внешних выводов: двухполюсники, трёхполюсники, многополюсники.

Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от вида дифференциального уравнения цепи.

Цепи с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такое описание справедливо, если длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства. При этом каждый из основных электрических эффектов проявляется в конечном числе пространственно локализуемых областей.

Цепи с распределёнными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Это описание справедливо, когда длина волны электромагнитных колебаний соизмерима с размерами исследуемого устройства, и необходимо учитывать зависимость токов и напряжений от пространственных координат.

Линейные цепи (цепи, не содержащие нелинейных элементов) описываются линейными дифференциальными уравнениями. Нелинейным электрическим цепям соответствуют нелинейные дифференциальные уравнения.

Параметры пассивных элементов и коэффициенты управления управляемых источников могут быть постоянными, либо изменяться с течением времени под действием различных факторов. Если цепь содержит только элементы с постоянными параметрами, то она описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Если в цепи есть хотя бы один элемент с изменяющимися параметрами, ло цепь называется параметрической и описывается дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами.

В общем случае дифференциальное уравнение линейной цепи с сосредоточенными параметрами имеет вид:

где s(t) - искомая реакция цепи;

a0, an-1, an – коэффициенты, определяемые параметрами пассивных элементов и коэффициентами управления источников;

f(t) –линейная комбинация функций, описывающих внешнее воздействие, и их производных.

Порядок дифференциального уравнения равен порядку сложности цепи и равен числу реактивных элементов, энергетическое состояние которых может быть задано независимо.

Состояние теории цепей во многом зависит от уровня развития теории дифференциальных уравнений. В настоящее время наиболее законченный вид имеет теория линейных электрических цепей с постоянными коэффициентами.

Выводы

Для описания соединений элементов используют термины: последовательное соединение, параллельное соединение, смешанное соединение и др.

При топологическом описании цепи используют понятия ветвь, узел, контур.

В произвольной электрической цепи выполняются условия баланса токов в узле и напряжений в контуре, выражаемые законами Кирхгофа.

Математическое описание цепи – система уравнений электрического равновесия. Она формируется из топологических уравнений (составленных по законам Кирхгофа) и компонентных уравнений (устанавливающих связь между током и напряжением на элементе).

Система уравнений электрического равновесия преобразуется в одно уравнение, вид которого определяется свойствами цепи.

Классификация цепей производится в зависимости от вида уравнения электрического равновесия.

Принимаем положительные направления токов в ветвях и через найденные потенциалы по закону Ома определяем токи ветвей. В ветви с нулевым сопротивлением ток находится по I закону Кирхгофа в конце расчёта.

I1 = ;  I3 = ; I4 = ; I6 = ; I2 = – I3 – I4.

Если в схеме есть несколько ветвей с нулевым сопротивлением, то потенциал одного из узлов, к которым присоединены эти ветви, принимается равным нулю. Тогда сразу можно вычислить потенциал ещё одного узла (рис. 2.3):

j a = 0; j b = j a + Ek = Ek.

Для каждой следующей пары узлов, между которыми находится ветвь с нулевым сопротивлением, можно записать

j i - j j = Ek (j c - j d = E2 ).

Для остальных узлов с неизвестными потенциалами составляются уравнения стандартным способом по МУП. Дополнительно составляются уравнения для сечений, подграф внутри которых содержит ветвь с нулевым сопротивлением.

Решением полученной системы уравнений получаем значения потенциалов, а токи определяем по закону Ома и I закону Кирхгофа. Итак, j a = 0; j b = Ek.

j c - j d = E2,

- I4 + I6 = 0 или -  +  = 0;

j e ( +  + ) - j b   - j a  - j d   = - J.

Если в схеме всего два узла, МУП превращается в метод двух узлов (узлового напряжения). Применяется часто при расчёте трёхфазных цепей. Так как в схеме два узла, а потенциал одного из них принят равным нулю, то, отыскивая потенциал другого узла, тем самым находим так называемое узловое напряжение, которое может быть записано сразу одной формулой. Например, для схемы рис. 2.4 пусть j b =0, тогда узловое напряжение

 

 

Uab = j a- j b = .

Токи находятся по закону Ома.

Проверка решения осуществляется по первому закону Кирхгофа, составлением БМ или расчётом другим методом.

Основные определения теории электрических цепе

Под электрическим током понимается по существу электрический ток проводимости в соединительных проводах цепи, т. е. в проводах, соединяющих внешние зажимы устройств электрической цепи. Ток проводимости определяется как упорядоченное движение зарядов в проводящем веществе. Мерой тока является сила тока, равная первой производной по времени от заряда ), проходящего сквозь поверхность проводящего вещества, т. е.

.

Часто вместо термина «сила тока» применяют термин «значение тока» или просто «ток».


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.