Основы теории цепей

ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ЛРП, ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)

Длинными называются такие линии, у которых при переходе от одной точки к другой напряжение и ток непрерывно изменяются. Другими словами, мгновенные значения напряжения и тока зависят не только от времени t, но и от координаты x.

К линиям с распределёнными параметрами (ЛРП) относятся  ЛЭП при напряжениях св. 35 кВ и длине более 50 км, линии связи, антенно-фидерные устройства по канализации энергии высокой частоты. При высоких частотах даже обычная катушка описывается теорией цепей с распределёнными параметрами.

Топологические матрицы

Топологические матрицы служат для аналитического описания графов. Такое описание можно представить в виде списка (перечня) ветвей графа с указанием, каким узлам они инцидентны, и с какой ориентацией, или с помощью полной матрицы узлов .

Полная матрица узлов (используются также другие названия этой матрицы: полная матрица инциденций, матрица соединений, структурная матрица) – это таблица, в которой число столбцов равно числу ветвей графа p, а число строк равно числу узлов q. Номера строк совпадают с номерами узлов (строка с нулевым номером обычно располагается последней), номера столбцов совпадают с номерами ветвей. Элемент матрицы aij, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца, может принимать значения +1, -1 и 0: aij = 1, если ветвь j инцидентна узлу i и направлена от этого узла; aij = -1, если ветвь j инцидентна узлу i и направлена к этому узлу; aij = 0, если ветвь j не инцидентна узлу i. Так, графу, изображенному на рис. 2.5, а соответствует полная матрица инциденций

 (2.4)

Число ненулевых элементов в каждой строке матрицы  равно числу ветвей, инцидентных соответствующему узлу, т. е. степени узла. В каждом столбце имеется только два ненулевых элемента: 1 и -1, так как каждая ветвь инцидентна двум узлам и направлена от одного из них к другому. Сумма всех элементов каждого столбца, а следовательно, и сумма всех строк полной матрицы, узлов  равна нулю, т. е. строки полной матрицы узлов являются линейно зависимыми.

На практике обычно используют сокращенную матрицу узлов A, которая получается из полной матрицы узлов путем отбрасывания любой из ее строк. Обычно отбрасывают строку, соответствующую узлу с номером 0, который будем называть базисным узлом. Так, отбрасывая строку с номером 0 у полной матрицы узлов (2.4), получаем сокращенную матрицу узлов A цепи, граф которой изображен на рис. 2.5:

 (2.5)

В теории графов доказывается, что все строки сокращенной матрицы узлов линейно независимы. Зная сокращенную матрицу узлов, соответствующую некоторому графу, всегда можно найти его полную матрицу узлов, для чего необходимо дополнить A одной строкой так, чтобы сумма всех строк матрицы  равнялась нулю.

В связи с тем, что каждая строка матриц AC и A несет информацию о том, какие ветви и с какой ориентацией подключены к определенному узлу цепи, эти матрицы можно использовать для записи уравнений по первому закону Кирхгофа. Действительно, умножая полную матрицу узлов  на матрицу-столбец токов ветвей , получаем

Каждая строка этого выражения есть алгебраическая сумма токов ветвей, подключенных к соответствующему узлу цепи, причем если ветвь направлена от узла, то соответствующий ток имеет знак плюс (), если ветвь направлена к узлу, то знак минус (). Если же ветвь не инцидентна рассматриваемому узлу, то соответствующее слагаемое равно нулю (). Тогда в соответствии с первым законом Кирхгофа окончательно имеем

 (2.6)

В связи с тем что строки полной матрицы узлов являются линейно зависимыми, система уравнении (1.42) также будет линейно зависимой .

Для получения системы линейно независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, можно воспользоваться сокра­щенной матрицей инциденций, строки которой являются линейно не­зависимыми:

 (2.7)

Таким образом, для любой цепи можно составить  линейно независимых уравнений баланса токов, и, следовательно, любые  узлов графа, представляют собой систему независимых узлов.

Матрица главных контуров  представляет собой таблицу, в которой число столбцов равно числу ветвей графа , а число строк - числу главных контуров, т. е. числу главных ветвей графа  (номера столбцов совпадают с номерами ветвей, а номера строк - с номерами главных контуров). Элементы -й строки  могут принимать значения +1, -1 и 0;   если -я ветвь входит в состав -го контура, причем ее ориентация совпадает с ориентацией контура; , если ориентация -й ветви, входящей в -й контур, не совпадает с ориентацией контура;  если -я ветвь не входит в -й контур Например, матрица главных контуров  графа (см. рис. 2.5), соответствующая дереву графа, приведенному на рис. 2.6, в, имеет следующий вид:

 (2.8)

Матрицу главных контуров можно использовать для записи уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгоффа. Пусть исследуемая цепь содержит  ветвей,  узлов и  главных контуров. Умножая матрицу главных контуров  на матрицу-столбец напряжений ветвей , получаем

Каждая строка этого выражения представляет собой алгебраическую сумму напряжений ветвей, входящих в -й главный контур, причем правило суммирования напряжений ветвей совпадает с соответствующим правилом, установленным для записи уравнении баланса напряжении в контуре (1.39). Так как в соответствии со вторым законом Кирхгофа сумма напряжений ветвей, входящих в каждый контур, в любой момент времени равна нулю, то окончательно имеем

 (2.9)

Выражение (1.45) является матричной формой записи уравнений баланса напряжений для главных контуров цепи. Уравнения, входящие в (1.45), являются линейно независимыми, так как каждое из них отличается от остальных, по крайней мере, одним напряжением - напряжением главной ветви, замыкающей данный контур.

Таким образом, система из  главных контуров, соответствующих выбранному дереву, является системой независимых контуров. Следовательно, для каждой цепи можно составить  независимых уравнений по второму закону Кирхгофа.

Принцип и метод наложения (МН)

Принцип наложения – это свойство линейных цепей. Оно состоит в том, что ток в любой ветви линейной цепи может быть представлен как алгебраическая сумма токов, вызываемых в этой ветви действием каждого источника в отдельности. Принцип наложения основан на принципе независимости действия ЭДС различных источников. Процессы в линейных цепях описываются уравнениями первой степени. Если в цепи имеется хотя бы одна переменная величина со степенью выше первой, то метод наложения принципиально использован быть не может. Например, МН можно рассчитывать токи в линейных цепях, но нельзя рассчитывать мощности в этих цепях, так как мощность связана с напряжением или током квадратичной, а не линейной зависимостью.

На базе принципа наложения разработан МН. Он прост, но громоздок, так как предполагает многократный расчёт цепи (с каждым источником в отдельности). К основным не относится. Иногда нужен, чтобы посмотреть, как влияет на некоторый ток какой-нибудь источник.

Порядок расчёта:

- принимаем положительные направления токов в ветвях;

- полагаем, что в схеме действует  только один источник, например, Е1, остальные

 источники заменяем их внутренними сопротивлениями (RE =0, RJ =¥);

- аналогично рассчитываем цепь при действии второго, третьего источника и т.д.;

- полные токи записываем в виде: Iq = Iq’ + Iq’’ + Iq’’’ + … 

Основные определения теории электрических цепе

Под электрическим током понимается по существу электрический ток проводимости в соединительных проводах цепи, т. е. в проводах, соединяющих внешние зажимы устройств электрической цепи. Ток проводимости определяется как упорядоченное движение зарядов в проводящем веществе. Мерой тока является сила тока, равная первой производной по времени от заряда ), проходящего сквозь поверхность проводящего вещества, т. е.

.

Часто вместо термина «сила тока» применяют термин «значение тока» или просто «ток».


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.