Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ЛРП, ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)

Длинными называются такие линии, у которых при переходе от одной точки к другой напряжение и ток непрерывно изменяются. Другими словами, мгновенные значения напряжения и тока зависят не только от времени t, но и от координаты x.

К линиям с распределёнными параметрами (ЛРП) относятся  ЛЭП при напряжениях св. 35 кВ и длине более 50 км, линии связи, антенно-фидерные устройства по канализации энергии высокой частоты. При высоких частотах даже обычная катушка описывается теорией цепей с распределёнными параметрами.

Ветви электрической цепи нумеруют арабскими цифрами, начиная с единицы. Номера ветвей удобно выбирать совпадающими с номерами соответствующих токов, в этом случае номера ветвей на схеме можно не указывать. Узлы электрической цепи нумеруют, начиная с нуля. Порядок нумерации узлов значения не имеет, однако номер «0» удобно присваивать заземленному узлу или узлу, к которому сходится наибольшее число ветвей. Номера узлов условимся обозначать арабскими цифрами в круглых скобках, проставленными около соответствующего узла.

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи, называется контуром. Например, в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 2.2, б можно выделить шесть контуров, образованных ветвями {1,2}, {2,3}, {3,4}, {1,4}, {2,4} и {1,3}. Неразветвленная цепь (см. рис. 2.1, а) содержит только один контур.

В отличие от электрических элементов моделирующих цепей ветви, узлы и контуры называются топологическими элементами. Степень сложности исследования процессов в электрических цепях во многом определяется числом топологических элементов.

2.2. Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа

Математическое описание процессов в электрических цепях базируется на уравнениях двух типов: компонентных и топологических.

Компонентные уравнения (уравнения ветвей) устанавливают связь между током и напряжением каждой ветви. Количество таких уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т. е. от входящих в ее состав идеализированных двухполюсных элементов.

Топологические уравнения отражают свойства цепи, которые определяются только её топологией и не зависят от того, какие, электрические элементы входят в состав ветвей. К топологическим относятся уравнения, составленные на основании первого и второго законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в каждом из узлов цепи: алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов цепи, в любой момент времени равна нулю.

В соответствии с первым законом Кирхгофа для каждого из узлов идеализированной цепи (как при расширенном, так и при сокращенном топологическом описании) может быть составлено уравнение баланса токов в узле

 (2.1)

где  номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.

Суммирование токов производится с учетом выбранных положительных направлений: всем токам, одинаково ориентированным относительно узла, приписывается одинаковый знак.

На основании первого закона Кирхгофа можно составить уравнение баланса токов и для так называемого обобщенного узла, который представляет собой часть моделирующей цепи, охваченную произвольной замкнутой поверхностью. В этом случае в уравнении (2.1) алгебраически суммируются токи всех ветвей, входящих в обобщенный узел, т. е. токи всех ветвей, пересекаемых указанной замкнутой поверхностью.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями ветвей, входящих в произвольный контур: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех ветвей, входящих в любой контур цепи, в каждый момент времени равна нулю.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого контура можно составить уравнения баланса напряжении ветвей

 (2.2)

где  - номера ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Суммирование напряжений производится с учетом их положительных направлений и выбранного направления обхода контура. Если положительное направление напряжения ветви совпадает с направлением обхода контура, то оно входит в (2.2) со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус. Изменение направления обхода контура, очевидно, соответствует умножению левой и правой частей (2.2) на (–1).

Уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить не только для напряжений ветвей, но и для напряжений элементов, входящих в ветви каждого контура. Представляя напряжение каждой ветви в виде суммы напряжений элементов этой ветви и принимая во внимание, что положительное направление напряжения источника э. д. с. противоположно направлению э. д. с., систему уравнений (2.2) можно преобразовать к следующему виду:

 (2.3)

Здесь  - напряжения каждого из элементов рассматриваемого контура, за исключением напряжений источников э. д. с.;  - э. д. с. источников напряжения, действующих в контуре.

Используя (2.2), можно несколько видоизменить формулировку второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на элементах любого контура моделирующей цепи в каждый момент времени равна алгебраической сумме мгновенных значений э. д. с. источников напряжения, действующих в этом контуре. Напряжения на элементах контура и э. д. с. источников напряжения входят в (2.3) со знаком плюс, если положительные направления напряжений на элементах и направления э. д. с. источников напряжения совпадают с направлением обхода контура. В противном случае соответствующие слагаемые в (2.3) берутся со знаком минус.

Так как вид и число уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа, не зависят от того, какие элементы входят в состав цепи, и определяются только ее топологическими особенностями, то уравнения баланса токов и напряжений можно применять для математического описания процессов в моделирующих цепях, составленных из двухполюсных элементов любого типа (как линейных, так и нелинейных) при любой форме токов и напряжений независимых источников.

Очевидно, что количество уравнений баланса токов и напряжений равно сумме числа узлов и числа контуров исследуемой цепи. Можно убедиться; что не все из составленных уравнений будут линейно независимыми.

В то же время на основании законов Кирхгофа для каждой цепи можно составить несколько различных систем линейно независимых топологических уравнений.

Будем называть системой независимых узлов и системой независимых контуров любые совокупности узлов и контуров цепи, для которых можно составить системы линейно независимых уравнений по законам Кирхгофа. Определение числа независимых узлов и контуров, а также выделение систем соответствующих узлов и контуров являются основными задачами топологии цепей.

Метод узловых потенциалов (МУП)

Сущность метода в том, что сначала рассчитываются потенциалы узлов, для чего достаточно уравнений, составленных по I закону Кирхгофа, а затем находят токи ветвей по закону Ома через потенциалы узлов.

При этом используются следующие положения:

- токи в ветвях зависят от разности потенциалов цепи, а не от их абсолютных значений;

- если один из узлов схемы заземлить, то есть принять его потенциал равным нулю, то токи в схеме не изменятся.

Порядок расчёта этим методом рассмотрим на примере (рис.2.2).

1. Анализ цепи: В=6, У=4, Вт =1, Во =1. NМУП = У-1-Во = 2.

2. Обозначаем узлы схемы.

3. Потенциал одного из узлов принимаем равным нулю. Если в схеме есть ветвь с нулевым сопротивлением (R2 =0), то следует заземлить узел, примыкающий к этой ветви: пусть j4 = 0, тогда j3=Е2.

Для узлов с неизвестными потенциалами составляем уравнения по I закону Кирхгофа в следующей форме

j1g11 - j2g12 -j3g13 - … -jng1n = JS1 ,

-j1g21 + j2g22 -j3g23 - … -jng2n = JS2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-j1gn1 - j2gn2 -j3gn3 - … +jngnn = JSn ,

где g = 1/R – проводимость ветви,

gnn – собственная проводимость n-ого узла – сумма проводимостей всех ветвей, примыкающих к n-ому узлу,

gij - i-ым и j-ым узлами - сумма проводимостей всех ветвей, находящихся непосредственно между i-ым и j-ым узлами.

Коэффициенты главной диагонали основного определителя положительные, все остальные – отрицательные.

JSq – алгебраическая сумма произведений ЭДС, примыкающих к рассматриваемому узлу, на проводимость ветви, в которой ЭДС находится, и токов источников тока, примыкающих к рассматриваемому узлу. «+» – если источник направлен к узлу, «-» - если от узла.

В данном случае

j1 (++) - j2 - j3 (+) = -- J,

- j1  + j2 (++) = E4 .

Здесь RE =0, RJ =¥.

Уравнения составлены по I закону Кирхгофа. Это видно, если раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые так, чтобы получались токи.

Решая систему, находим неизвестные потенциалы j1 и j2.

Основные определения теории электрических цепе

Под электрическим током понимается по существу электрический ток проводимости в соединительных проводах цепи, т. е. в проводах, соединяющих внешние зажимы устройств электрической цепи. Ток проводимости определяется как упорядоченное движение зарядов в проводящем веществе. Мерой тока является сила тока, равная первой производной по времени от заряда ), проходящего сквозь поверхность проводящего вещества, т. е.

.

Часто вместо термина «сила тока» применяют термин «значение тока» или просто «ток».


Инженерная графика

 

Начертательная геометрия
Теория цепей
Сопромат
Лабораторные работы
Электротехника
Математика