Основы теории цепей

Метод расчёта по первым гармоникам токов и напряжений (метод гармонического баланса)

Основа метода – разложение несинусоидальных величин на гармонические составляющие и анализ уравнений лишь для основной гармоники. Могут использоваться как амплитудные, так и действующие значения основной гармоники. Метод целесообразно применять при расчете цепей с инерционным нелинейным элементом. В этом случае зависимость между мгновенными значениями напряжения и тока линейна, а между действующими – нет. Так как в расчёт берётся только основная гармоника, то могут быть построены векторные диаграммы и использована комплексная форма записи. Рассмотрим применение метода в графическом варианте на примере (рис. 12.28). Здесь Z = Z ejj  - комплекс некоторого линейного сопротивления, причём j>0; НЭ – нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого задана.

Топологическое описание электрических схем. Основные законы теории цепей.

Электрические схемы. Двухполюсники и многополюсники. Виды соединения элементов.

Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа.

Топологический граф электрической цепи. Топологические матрицы.

Уравнение электрического равновесия цепи. Классификация цепей

Цели изучения

Введение терминов и определений, касающихся топологии цепей

Описание структуры цепи (словесное, с помощью топологических графов, с использованием топологических матриц)

Составление математической модели цепи – уравнения электрического равновесия.

Классификация электрических цепей.

2.1. Электрические схемы. Основные определения

Электрическая схема - это условное графическое изображение электрической цепи. В связи с тем, что в теории цепей рассматривают исключительно эквивалентные схемы, в дальнейшем под термином «электрическая схема» или просто «схема» будем понимать именно эквивалентную схему электрической цепи. Схема электрической цепи определяет, таким образом, состав идеализированных активных и пассивных элементов моделирующей цепи, замещающей исследуемую цепь в рамках рассматриваемой задачи, параметры этих элементов и способ их соединения между собой.

 

Помимо идеализированных активных и пассивных элементов на схемах электрических цепей изображаются также идеализированные вспомогательные элементы: выводы цепи или ее частей, соединительные проводники и элементы коммутации.

При необходимости на схеме указывают положительные направления токов и напряжений: для токов через внешние выводы цепи или через ее элементы - стрелками непосредственно на соединительных проводниках или выводах; для напряжений на отдельных элементах или участках цепи - стрелками между выводами соответствующих элементов или участков цепи (рис. 2.1). Рядом со стрелками, указывающими положительные направления токов или напряжений, проставляют их условные буквенные, обозначения, например  или , где индексы представляют собой либо буквенные обозначения соответствующих элементов, либо порядковые номера токов и напряжений.

Внешние выводы отдельных участков моделирующей цепи, по аналогии с внешними выводами реальных элементов электрической цепи, называют полюсами. В зависимости от числа полюсов участки цепей делят на двухполюсники и многополюсники (трёхполюсники, четырёхполюсники, N-полюсники).

Двухполюсник может состоять из одного или нескольких идеализированных двухполюсных элементов (см., например, рис. 2.2 - 2.4) или может вообще не содержать идеализированных активных и пассивных элементов (например, короткозамыкающий двухполюсник или перемычка). Важное значение в теории цепей имеют многополюсники с четырьмя выводами - четырехполюсники.

В зависимости от характера соединения идеализированных двухполюсных элементов различают неразветвленные и разветвленные цепи. В неразветвлённой цепи (рис. 2.1, а) через все элементы протекает один и тот же ток. В разветвлённых цепях (рис. 2.1, б и рис. 2.2, а) токи через различные элементы могут быть неодинаковы.

Соединение группы идеализированных двухполюсных элементов, при котором через них протекает один и тот же ток, называется последовательным. Например, в неразветвленной цепи, схема которой представлена на рис. 2.1, а, все элементы включены последовательно (), а в разветвленной цепи (рис. 2.2, а) имеется две группы последовательно включенных элементов:

- источник напряжения e(t), сопротивление R1 и индуктивность L1, (i1 = i2 = i3),

- сопротивление R3 и емкость C (i6 = i7).


Соединение группы двухполюсных элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным. Так, в разветвленной цепи, схема которой приведена на рис. 2.1, б, все элементы включены параллельно ().

Комбинация последовательного и параллельного соединений элементов называется смешанным соединением (рис. 2.2, а). В ряде случаев соединение между входящими в цепь элементами не может быть отнесено ни к последовательному, ни к параллельному, ни к смешанному. К числу таких соединений относятся соединения треугольником (рис. 2.3, а) и звездой (рис. 2.3, б), которые являются частными случаями соединения N -угольником (рис. 2.4, а) и N - лучевой звездой (рис. 2.4, б).

Характер соединения между идеализированными элементами цепи определяет ее  топологические (структурные) свойства, для описания которых используют понятия ветви, узла и контура. Ветвь представляет собой участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток. Она может состоять из одного или нескольких последовательно включенных идеализированных двухполюсных элементов.

Место соединения ветвей называется узлом, причем место соединения двух ветвей называют устранимым узлом (при соединении двух ветвей текущие через них токи имеют одинаковые значения, поэтому две такие ветви могут быть заменены одной).

Основные законы и соотношения электрических цепей

Определение сопротивления и проводимости участка цепи, содержащего последовательно или параллельно соединённые резисторы, изучить самостоятельно.

Закон Ома (применяется для резистивного участка цепи): ток, протекающий по участку линейной цепи, прямопропорционален приложенному напряжению I=U/R.

Например, для цепи рис. 1.22

Iвх = I1 = Uвх/Rвх =  

или I1 = U12/R1 = U23/R23 = U23/(), I2 = U23/R2.

Для участка цепи с источником ЭДС (рис. 1.23)

I == .

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в любом сечении равна нулю i=0.

Закон справедлив для мгновенных значений токов любых цепей в любом режиме работы. Например, для сечения S рис. 1.24 : 

-i1+i2+i3-j =0.

Следствие: алгебраическая сумма токов в узле цепи равна нулю.

Обычно вытекающие из узла токи берутся с "плюсом", а притекающие – с "минусом".

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах замкнутого контура цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре  .

Закон справедлив для мгновенных значений напряжений и ЭДС. Если направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода контура, оно берётся с "плюсом", а если нет – с "минусом".

Например, для схемы рис. 1.24 для контура R1-R4-R3: R1 i1 + R4 i4 + R3 i3 = e1.

Линейными называют такие электрические цепи, у которых реакция пропорциональна воздействию. Пусть воздействие в виде напряжения  вызывает в некотором произвольном выбранном устройстве цепи реакцию в виде, например, тока . Если воздействие изменилось пропорционально в k – раз, то реакция измениться также в k – раз. Линейными будут любые цепи, составленные из устройств, каждое их которых может рассматриваться как более простая линейная электрическая цепь. К числу линейных электрических цепей относятся многие важные устройства систем передачи и обработки информации, например, усилители и электрические фильтры разнообразного назначения, цепи для формирования и оптимальной обработки сигналов, корректирующие цепи и т. д. Линейные электрические цепи удовлетворяют принципу наложения (суперпозиции), согласно которому реакция линейной электрические цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности.


Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.